tag:
метод_координат
§
Расстояние от точки до плоскости
\[\begin{array}{l}
{\text{Расстояние от точки }}P\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right){\text{ до плоскости}} \hfill \\
\alpha :{\text{ }}ax + by + cz + d = 0{\text{ вычисляется по формуле}} \hfill \\
d = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}. \hfill \\
\end{array}\]
§
\[\begin{array}{l} {\text{Найти расстояние от точки }}{M_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right){\text{ до}} \hfill \\ {\text{прямой }}\frac{{x - {x_0}}}{m} = \frac{{y - {y_0}}}{n} = \frac{{z - {z_0}}}{p}. \hfill \\ \end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{На векторах }}\overrightarrow {{M_0}{M_1}} = \left\{ {{x_1} - {x_0};{y_1} - {y_0};{z_1} - {z_0}} \right\}{\text{ и }}\overrightarrow s = \left\{ {m;n;p} \right\} \hfill \\
{\text{строим параллелограмм}}{\text{. Высота этого параллелограмма}} \hfill \\
{\text{и есть искомое расстояние}}{\text{. Высоту находим как отношение}} \hfill \\
{\text{площади параллелограмма к длине основания}}{\text{. Площадь}} \hfill \\
{\text{параллелограмма - это модуль векторного произведения}} \hfill \\
{\text{векторов}}{\text{, а длина основания - это длина вектора }}\overrightarrow s . \hfill \\
d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_0}{M_1}} \times \overrightarrow s } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow s } \right|}} \hfill \\
\end{array}\]
795.
\[\begin{array}{l}
{\text{Дан куб }}ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}{\text{, введена система координат так}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{что }}A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),{A_1}\left( {0;0;1} \right). \hfill \\
H{\text{ - середина }}D{D_1},{\text{ }}K{\text{ - середина }}AH. \hfill \\
{\text{а) Найдите координаты точки }}K; \hfill \\
{\text{б) Найдите координаты векторов }}\overrightarrow {KB} ,\overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\
{\text{в) Определите координаты какого - либо вектора }}\overrightarrow n \hfill \\
{\text{такого}}{\text{, что }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {KB} {\text{ и }}\overrightarrow n \bot \overrightarrow {K{D_1}} ; \hfill \\
{\text{г) Напишите уравнение плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\
{\text{д) Найдите расстояние от точки }}{B_1}{\text{ до плоскости }}KB{D_1}; \hfill \\
{\text{е) Докажите}}{\text{, что }}O \in \left( {KB{D_1}} \right). \hfill \\
\end{array} \]
1614.
Имеется пять домов A, B, C, D, E, которые расположены так, как показано на рисунке. ABCD - квадрат со стороной 100 м, DCE - правильный треугольник. MNKP - квадратный пруд со стороной 50 м. Центры квадратов ABCD и MNKP совпадают, AK=BK. Возможно ли соединить эти дома системой дорог так, чтобы суммарная длина всех дорог не превышала 365 м и от каждого дома можно было дойти по дороге до любого другого? (Мост через пруд строить нельзя.)
1615.
Дан треугольник ABC со сторонами 5,6,7. Пусть Т - точка Торричелли данного треугольника. Найдите AT, BT, CT.
