Дан квадрат ABCD. Через вершину C проведена прямая m, не имеющая с квадратом общих точек. Точки E и F — проекции вершин B и D на прямую m. Отрезки BF и DE пересекаются в точке K, прямая AK пересекается с прямой m в точке L. Известно, что BE=7, AL=31. Чему равна сторона квадрата ABCD?
Докажем, что AL\[ \bot \]EF. Построим на EF квадрат EFPQ, при этом вершины квадрата ABCD будут лежать на сторонах квадрата EFPQ (см. рис.). Пусть BE = a, EC = b. Треугольники BEC, CFD, APD и AQB равны. Из точки K проведём высоты KM и KN треугольников KBE и KFD. KM+KN=a+b, а поскольку треугольники KBE и KFD подобны с коэффициентом подобия a:b, то KM:KN=a:b. Следовательно, KM=a, KN=b. Следовательно, AQEL - прямоугольник. Следовательно, AL\[ \bot \]EF.
Значит EQ=31, BQ=24, AB=25.
\[25\]