\[\begin{array}{l}{\text{По формуле бинома Ньютона имеем:}}\\{\left( {\sqrt 2 + \sqrt[4]{3}} \right)^{100}} = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k \cdot {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{100 - k}} \cdot {{\left( {\sqrt[4]{3}} \right)}^k}} = \\\sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k \cdot {2^{\frac{{100 - k}}{2}}} \cdot {3^{\frac{k}{4}}}} = \sum\limits_{k = 0}^{100} {C_{100}^k \cdot {2^{50}} \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{\frac{k}{4}}}} \\{\text{Следовательно}}{\text{, рациональными будут члены при всех}}\\k{\text{ от 0 до 100 кратных четырём}}{\text{, всего 26 чисел}}{\text{.}}\end{array}\]

\[{\text{26}}\]