\[\begin{array}{l} {\text{Запишем уравнение в виде }}\left( {{x^2} - 4} \right) \cdot \left( {\frac{{x + 1}}{{3 + \sqrt {{x^2} + 5} }} + \frac{{2x + 1}}{{1 + \sqrt {{x^2} - 3} }} - \frac{{13}}{5}} \right) = 0. \hfill \\ {\text{Отсюда ясно}}{\text{, что уравнение не имеет решений при }}x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2; - \sqrt 3 } \right]. \hfill \\ {\text{Запишем уравнение в виде}} \hfill \\ 5{\left( {\left( {x + 1} \right) - \sqrt {{x^2} + 5} } \right)^2} + {\left( {\left( {2x + 1} \right) - 5\sqrt {{x^2} - 3} } \right)^2} = \left( {13x - 10} \right)\left( {x - 2} \right). \hfill \\ {\text{Отсюда ясно}}{\text{, что корней нет на интервале }}\left[ {\sqrt 3 ;2} \right). \hfill \\ {\text{Пусть }}x > 2. \hfill \\ {\text{Перепишем уравнение в виде }}\frac{{13\sqrt {{x^2} - 3} - 10x + 8}}{{x + 1}} = 5 \cdot \frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 3} - 1}}. \hfill \\ {\text{Несложно проверить}}{\text{, что при }}x > 2{\text{ выполняется неравенство }}\frac{{\sqrt {{x^2} + 5} - 3}}{{\sqrt {{x^2} - 3} - 1}} > \frac{{x - 1}}{{x + 1}}. \hfill \\ {\text{Следовательно}}{\text{, }}\frac{{13\sqrt {{x^2} - 3} - 10x + 8}}{{x + 1}} > 5 \cdot \frac{{x - 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \frac{{13}}{4} < x < \frac{{26}}{7}. \hfill \\ {\text{При }}\frac{{13}}{4} < x < \frac{{26}}{7}{\text{ выполняются неравенства }}\sqrt {{x^2} + 5} > \frac{{11}}{{13}}x + \frac{{13}}{{11}}{\text{ и }}\sqrt {{x^2} - 3} > \frac{{15}}{{13}} \cdot x - 1. \hfill \\ {\text{Значит на этом интервале}} \hfill \\ \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 5} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{x^2} - 3} > \left( {x + 1} \right) \cdot \left( {\frac{{11}}{{13}}x + \frac{{13}}{{11}}} \right) + \left( {2x + 1} \right) \cdot \left( {\frac{{15}}{{13}} \cdot x - 1} \right) = \hfill \\ \frac{{41}}{{13}}{x^2} + \frac{{13}}{{11}}x + \frac{2}{{11}}. \hfill \\ {\text{Следовательно}}{\text{, }}\frac{{13}}{5}{x^2} + 5x - \frac{{32}}{5} > \frac{{41}}{{13}}{x^2} + \frac{{13}}{{11}}x + \frac{2}{{11}}. \hfill \\ {\text{Но последнее неравенство не имеет решений}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[x = \pm 2\]