\[\begin{array}{l} \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3}}}{3} \geqslant \sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant 3abc \hfill \\ \frac{{{a^2} + bc}}{2} \geqslant \sqrt {{a^2}bc} \Leftrightarrow {a^3} + abc \geqslant 2{a^2}\sqrt {bc} \hfill \\ {b^3} + abc \geqslant 2{b^2}\sqrt {ac} \hfill \\ {c^3} + abc \geqslant 2{c^2}\sqrt {ab} \hfill \\ {\text{Складываем последние три неравенства:}} \hfill \\ {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3abc \geqslant 2{a^2}\sqrt {bc} + 2{b^2}\sqrt {ac} + 2{c^2}\sqrt {ab} . \hfill \\ {\text{Т}}{\text{.к}}{\text{. }}{a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant 3abc{\text{, то }}3abc{\text{ можем заменить}} \hfill \\ {\text{на }}{a^3} + {b^3} + {c^3}{\text{ и получаем требуемое неравенство}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

ссылки