\[\begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant 3abc \hfill \\ (a > 0,{\text{ }}b > 0,{\text{ }}c > 0) \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} \geqslant 3 \hfill \\ (a > 0,{\text{ }}b > 0,{\text{ }}c > 0) \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Доказать неравенство:}} \hfill \\ {a^3} + {b^3} + {c^3} \geqslant {a^2}\sqrt {bc} + {b^2}\sqrt {ca} + {c^2}\sqrt {ab} {\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}a \geqslant 0,{\text{ }}b \geqslant 0,{\text{ }}c \geqslant 0. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Доказать неравенство:}} \hfill \\ {x^2} + {y^2} + {z^2} \geqslant xy + yz + zx. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}{x^4} + {x^3} - x + 1 > 0{\text{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 1,{\text{ 0}} \leqslant {x_i} \leqslant 1. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\max \left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right) \geqslant x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2. \hfill \\ \end{array}\]