\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{. Найдите все такие пары натуральных}} \hfill \\
{\text{чисел}}\left( {x,y} \right){\text{, что }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}. \hfill \\
\end{array}\]
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p} \Leftrightarrow y = p + \frac{{{p^2}}}{{x - p}}\]
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p} \Leftrightarrow y = \frac{{px}}{{x - p}} = \frac{{p\left( {x - p} \right) + {p^2}}}{{x - p}} = p + \frac{{{p^2}}}{{x - p}} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - p = 1 \hfill \\
x - p = p \hfill \\
x - p = {p^2} \hfill \\
\end{array} \right.\]
\[\frac{1}{p} = \frac{1}{{2p}} + \frac{1}{{2p}} = \frac{1}{{p + 1}} + \frac{1}{{p\left( {p + 1} \right)}}\]
