\[\begin{array}{l}{\text{Найдите наибольшее и наименьшее значение}}\\{\text{выражения }}2{x^2} + 3{y^2}{\text{ при }}x + y = 2,x \ge 0,y \ge 0.\end{array}\]
\[\begin{array}{l}x + y = 2 \Leftrightarrow y = 2 - x\\f\left( x \right) = 2{x^2} + 3{y^2} = 2{x^2} + 3{\left( {2 - x} \right)^2} = 5{x^2} - 12x + 12\\2 - x \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 2\\f'\left( x \right) = 10x - 12\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 10x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{6}{5}{\text{ - точка минимума}}\\{\text{(абсцисса вершины параболы)}}\\f\left( {\frac{6}{5}} \right) = 5 \cdot {\left( {\frac{6}{5}} \right)^2} - 12 \cdot \frac{6}{5} + 12 = \frac{{24}}{5} = 4,8\\{\text{ - наименьшее значение}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}{\text{Наибольшее значение достигается на одном из концов}}\\{\text{отрезка }}x \in \left[ {0;2} \right].\\f\left( 0 \right) = 12;f\left( 2 \right) = 8 \Rightarrow 12{\text{ - наибольшее значение}}{\text{.}}\end{array}\]
\[{\text{4}}{\text{,8 и }}12\]
