\[\begin{array}{l}
{\text{Выберите подходящий признак и исследуйте сходимость ряда:}}\\
\end{array}\]
$%\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!\left( {n + 2} \right)!}}} .$%
\[\begin{array}{l}
{\text{Исследуем ряд с помощью признака Даламбера}}{\text{.}}\\
{a_n} = \frac{{\left( {2n - 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)!\left( {n + 2} \right)!}}\\
\left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \frac{{2n\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n\left( {2n + 1} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}} = 4 > 1 \Rightarrow {\text{ряд расходится}}{\text{.}}
\end{array}\]
\[{\text{ряд расходится}}\]