\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что среди чисел вида }}{4^n} + {4^m}{\text{ нет ни одного квадрата}} \hfill \\
{\text{натурального числа}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Требуется доказать}}{\text{, что уравнение }}{4^n} + {4^m} = {k^2}{\text{ не имеет решений}} \hfill \\
{\text{в целых числах}}{\text{.}} \hfill \\
{4^n} + {4^m}\mathop \equiv \limits_3 2,{\text{ но квадрат натурального числа по модулю 3 сравним с}} \hfill \\
{\text{0 или 1}} \Rightarrow {\text{равенство }}{4^n} + {4^m} = {k^2}{\text{ невозможно}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
другие варианты задачи
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что среди чисел вида }}{{\text{5}}^n} + {5^m}{\text{ нет ни одного квадрата}} \hfill \\
{\text{натурального числа}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Требуется доказать}}{\text{, что уравнение }}{{\text{5}}^n} + {5^m} = {k^2}{\text{ не имеет решений}} \hfill \\
{\text{в целых числах}}{\text{.}} \hfill \\
{4^n} + {4^m}\mathop \equiv \limits_4 2,{\text{ но квадрат натурального числа по модулю 4 сравним с}} \hfill \\
{\text{0 или 1}} \Rightarrow {\text{равенство }}{4^n} + {4^m} = {k^2}{\text{ невозможно}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
