\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}{5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}}{\text{ кратно }}23.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что среди чисел вида }}{4^n} + {4^m}{\text{ нет ни одного квадрата}} \hfill \\ {\text{натурального числа}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

При делении натурального числа \[n\] на 9 остаток равен неполному частному, при делении \[n\] на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения \[n\].

\[{\text{Докажите}}{\text{, что 21111}}...{\text{11}} \equiv {\text{2}}\bmod 19.\]

\[{\text{Пусть }}n \in \mathbb{N},{\text{ }}n \geqslant 2.{\text{ Вычислите }}{2^{{2^n}}} + 1{\text{ }}\bmod 80.\]