\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}{1^k} + {2^k} + ... + {\left( {p - 1} \right)^k} \equiv 0{\text{ }}\left( {\bmod p} \right){\text{, если }}p - 1\not |k{\text{,}} \hfill \\ {\text{и }} - 1\left( {\bmod p} \right){\text{, если }}p - 1|k. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,p \in \mathbb{N},{\text{ }}p{\text{ - простое}}{\text{, }}a{\text{ - первообразный корень по модулю }}p,{\text{ }}{p^2}\not |\left( {{a^{p - 1}} - 1} \right). \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}a{\text{ - первообразный корень по модулю }}{p^2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что 2 не является первообразным корнем по простому модулю }}p = {n^4} + 1.\]