1508.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{39^4} + {40^4} + {62^4} + {85^4} + {87^4} = {3^{17}}. \hfill \\
\end{array}\]
1509.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{96^4} + {82^4} + {65^4} + {14^4} + {2^4} = {23^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1527.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{91^4} + {822^4} + {906^4} = {10417^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1557.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{\text{78}}{{\text{0}}^3} + {1677^3} + {2546^3} = {2789^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1558.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{51^4} + {75^4} + {226^4} + {555^4} = {4603^3}. \hfill \\
\end{array}\]
905.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}{5^{2n + 1}} + {2^{n + 4}} + {2^{n + 1}}{\text{ кратно }}23.\]
906.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что среди чисел вида }}{4^n} + {4^m}{\text{ нет ни одного квадрата}} \hfill \\
{\text{натурального числа}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
911.
При делении натурального числа \[n\] на 9 остаток равен неполному частному, при делении \[n\] на 14 остаток также равен неполному частному. Найдите все возможные значения \[n\].
1403.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что 21111}}...{\text{11}} \equiv {\text{2}}\bmod 19.\]
1408.
\[{\text{Пусть }}n \in \mathbb{N},{\text{ }}n \geqslant 2.{\text{ Вычислите }}{2^{{2^n}}} + 1{\text{ }}\bmod 80.\]
1266.
Даны числа от 1 до 101. Назовем число замечательным, если оно является делителем суммы остальных чисел. Сколько всего замечательных чисел?
902.
\[{\text{Решите в целых числах уравнение }}{x^2} + xy - x - y = 5.\]
903.
\[{\text{Решите уравнение в целых числах: }}{x^2} - 3y = 8.\]
904.
\[{\text{Решите уравнение в целых числах: }}{x^2} - 4{y^3} = 11.\]
1616.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что если }}a,b,c{\text{ - различные простые числа}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{то равенство }}\sqrt a + \sqrt b = \sqrt c {\text{ невозможно}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]