\[\begin{array}{l} {\text{Вычислить:}} \hfill \\ \frac{1}{{\frac{1}{{101}} + \frac{1}{{\frac{1}{{100}} + \frac{1}{{\frac{1}{{99}} + ... + \frac{1}{{\frac{1}{3} + \frac{1}{{\frac{1}{2} + 1}}}}}}}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{{{{2020}^2}}}{{1 + \frac{{{{2019}^2}}}{{1 + \frac{{{{2018}^2}}}{{1 + ... + \frac{{{4^2}}}{{1 + \frac{{{3^2}}}{{1 + \frac{{{2^2}}}{{1 + 1}}}}}}}}}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислить:}} \hfill \\ \frac{{15 \cdot 14}}{{1 + \frac{{13 \cdot 12}}{{1 + \frac{{11 \cdot 10}}{{1 + \frac{{9 \cdot 8}}{{1 + \frac{{7 \cdot 6}}{{1 + \frac{{5 \cdot 4}}{{1 + \frac{{3 \cdot 2}}{{1 + 1}}}}}}}}}}}}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть дробь }}\frac{{{k^2} + 1}}{{k!}}{\text{ несократима}}{\text{. Докажите}}{\text{, что тогда числитель}} \hfill \\ {\text{этой дроби либо единица}}{\text{, либо простое число}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + \frac{1}{{13}} + ... + \frac{1}{{19}} + \frac{1}{{20}} > \frac{1}{2}.\]

\[{\text{Существуют ли такие натуральные числа }}a,b{\text{ и }}c{\text{ что }}\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1?\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{99 \cdot 100}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \left| {\left| {\frac{1}{6} - \frac{1}{5}} \right| - \left| {\frac{1}{4} - \frac{1}{3}} \right|} \right|. \hfill \\ \end{array}\]