\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что если для натуральных чисел }}x,y,z \hfill \\
{\text{выполняется равенство }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}{\text{, то НОД}}\left( {x,y} \right) > 1. \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{Предположим}}{\text{, что числа }}x{\text{ и }}y{\text{ взаимно просты}}{\text{. Числа }}x + y{\text{ и }}xy \hfill \\
{\text{должны иметь общий простой делитель }}p.{\text{ Тогда либо }}x{\text{, либо }}y \hfill \\
{\text{делится на }}p.{\text{ Пусть }}p{\text{ - делитель числа }}x,{\text{ тогда }}y{\text{ не делится на }}p. \hfill \\
{\text{Но тогда }}x + y{\text{ не делится на }}p{\text{ и равенство }}\frac{{x + y}}{{xy}} = \frac{1}{z}{\text{ невозможно}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]