\[\begin{array}{l}{\text{а) Вычислите: }}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3}\\{\text{б) Решите уравнение: }}{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{5} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} x = \frac{\pi }{4}\end{array}\]
\[{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha + {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}{{1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}\]
\[\begin{array}{l}1){\text{ }}{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {\alpha + \beta } \right) = \frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha + {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}{{1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }} \Rightarrow \\{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3}} \right) = \frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2}} \right) + {\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3}} \right)}}{{1 - {\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2}} \right){\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3}} \right)}} = \frac{{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}}{{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}} = 1\\2){\text{ }}\\\left. \begin{array}{l}{\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3}} \right) = 1\\0 < {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3} < \frac{\pi }{2}\end{array} \right\} \Rightarrow {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{2} + {\mathop{\rm arctg}\nolimits} \frac{1}{3} = \frac{\pi }{4}\end{array}\]
$%{\text{а) }}\frac{\pi }{4};{\text{ б) }}\frac{2}{3}$%
