Определение предела последовательности на языке \[\varepsilon - \delta \]
828.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите число членов последовательности }}{x_n} = \frac{{2n - 1}}{{7n + 4}}{\text{, лежащих}} \hfill \\
{\text{вне интервала }}\left( {\frac{2}{7} - \frac{1}{{1000}};\frac{2}{7} + \frac{1}{{1000}}} \right). \hfill \\
\end{array}\]
829.
\[\begin{array}{l}
{\text{Для }}\varepsilon = 1,{\text{ }}\varepsilon = 0,1{\text{ и }}\varepsilon = 0,001{\text{ найдите соответствующие номера }}n{\text{,}} \hfill \\
{\text{начиная с которых будет выполняться неравенство }}\frac{3}{{\sqrt n }} < \varepsilon . \hfill \\
\end{array}\]
830.
\[\begin{array}{l}
{\text{Для каждого данного }}\varepsilon {\text{ найдите соответствующие номера }}N{\text{, что}} \hfill \\
{\text{при всех }}n \geqslant N{\text{ верно неравенство }}\left| {\frac{{3n - 1}}{{n + 2}} - 3} \right| < \varepsilon . \hfill \\
\varepsilon = {10^{ - 1}},{\text{ }}\varepsilon = {10^{ - 3}},{\text{ }}\varepsilon = {10^{ - 6}} \hfill \\
\end{array}\]
760.
\[\begin{array}{l}
{\text{Доказать}}{\text{, что }}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{2n + 7}}{{5n - 7}} = \frac{2}{5}.{\text{ Чему равно }}N\left( \varepsilon \right){\text{, начиная с которого}} \hfill \\
\left| {{a_n} - a} \right| < \varepsilon ? \hfill \\
(\varepsilon = 0,01) \hfill \\
\end{array} \]
утверждение
§
\[\begin{array}{l}
{\text{Последовательность не может иметь двух различных пределов}}{\text{.}} \hfill \\
{\text{Действительно}}{\text{, допустим имеется два предела }}a{\text{ и }}b.{\text{ Рассмотрим}} \hfill \\
{\text{какие - либо непересекающиеся два интервала }}{I_1}{\text{ и }}{I_2}{\text{ такие}}{\text{, что}} \hfill \\
a \in {I_1},{\text{ }}b \in {I_2}.{\text{ Т}}{\text{.к}}{\text{. }}a{\text{ - предел}}{\text{, то вне интервала }}{I_1}{\text{ содержится лишь}} \hfill \\
{\text{конечное число членов последовательности}}{\text{. Но тогда конечное}} \hfill \\
{\text{число членов последовательности содержится в интервале }}{I_2}{\text{,}} \hfill \\
{\text{т}}{\text{.е}}{\text{. }}b{\text{ не является пределом}}{\text{. Противоречие}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]