Биномиальные коэффициенты
§
\[C_n^k = \frac{n}{k}C_{n - 1}^{k - 1}\]
Теорема
§
\[\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
m \\
n
\end{array}} \right) \equiv \prod\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m_i}} \\
{{n_i}}
\end{array}} \right){\text{ }}\left( {\bmod {\text{ }}p} \right)} {\text{,}} \hfill \\
{\text{где }}m = {\left( {{m_{k - 1}},...,{m_0}} \right)_p}{\text{ и }}n = {\left( {{n_{k - 1}},...,{n_0}} \right)_p}{\text{ - представления чисел }}m{\text{ и }}n \hfill \\
{\text{в }}p{\text{ - ичной системе счисления}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{k! - 2} \\
k
\end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\
{\text{б) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{k^{2m}}} \\
k
\end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\
\end{array}\]
\[{\text{Доказать}}{\text{, что число }}C_{{k^{2m}}}^k{\text{ чётно}}{\text{.}}\]
