\[\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} m \\ n \end{array}} \right) \equiv \prod\limits_{i = 0}^{k - 1} {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_i}} \\ {{n_i}} \end{array}} \right){\text{ }}\left( {\bmod {\text{ }}p} \right)} {\text{,}} \hfill \\ {\text{где }}m = {\left( {{m_{k - 1}},...,{m_0}} \right)_p}{\text{ и }}n = {\left( {{n_{k - 1}},...,{n_0}} \right)_p}{\text{ - представления чисел }}m{\text{ и }}n \hfill \\ {\text{в }}p{\text{ - ичной системе счисления}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Натуральное число }}p{\text{ является простым тогда и только тогда}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{когда }}\left( {p - 1} \right)! + 1{\text{ делится на }}p. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b{\text{ - целые числа}}{\text{, хотя бы одно из которых не ноль}}{\text{. Тогда}} \hfill \\ {\text{существуют такие целые числа }}x,y{\text{, что выполняется соотношение}} \hfill \\ {\text{НОД}}\left( {a,b} \right) = x \cdot a + y \cdot b. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Если }}p{\text{ - простое число и }}a{\text{ - целое число}}{\text{, не делящееся на }}p{\text{, то }}{a^{p - 1}} \equiv 1{\text{ }}\left( {\bmod p} \right).\]

\[\begin{array}{l} {\text{Если }}a{\text{ и }}m{\text{ взаимно просты}}{\text{, то}} \hfill \\ {a^{\varphi \left( m \right)}} \equiv 1{\text{ }}\left( {\bmod m} \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}l,k > 0{\text{ - целые числа и }}\left( {l,k} \right) = 1. \hfill \\ {\text{Тогда существует бесконечно много простых чисел }}p{\text{ таких}}{\text{, что }}p \equiv l{\text{ }}\left( {\bmod k} \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 2{\text{ - простое число}}{\text{. Число }}a{\text{, взаимно простое с }}p{\text{, является квадратичным}} \hfill \\ {\text{вычетом по модулю }}p{\text{ тогда и только тогда}}{\text{, когда}} \hfill \\ {a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv 1{\text{ }}\bmod p \hfill \\ {\text{и является квадратичным невычетом по модулю }}p{\text{ тогда и только тогда}}{\text{, когда}} \hfill \\ {a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv - 1{\text{ }}\bmod p. \hfill \\ \end{array}\]