tag:
квадратичный_вычет
35
Теорема
§

Критерий Эйлера

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 2{\text{ - простое число}}{\text{. Число }}a{\text{, взаимно простое с }}p{\text{, является квадратичным}} \hfill \\ {\text{вычетом по модулю }}p{\text{ тогда и только тогда}}{\text{, когда}} \hfill \\ {a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv 1{\text{ }}\bmod p \hfill \\ {\text{и является квадратичным невычетом по модулю }}p{\text{ тогда и только тогда}}{\text{, когда}} \hfill \\ {a^{\frac{{p - 1}}{2}}} \equiv - 1{\text{ }}\bmod p. \hfill \\ \end{array}\]
34
§
\[\begin{array}{l} {\text{Среди чисел }}1,2,...,p - 1{\text{ для простого модуля }}p \geqslant 3{\text{ существует ровно}} \hfill \\ \frac{{p - 1}}{2}{\text{ квадратичных вычетов и }}\frac{{p - 1}}{2}{\text{ невычетов}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
35
§
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a{\text{ - целое число}}{\text{, и }}p{\text{ - простое число}}{\text{, отличное от 2}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Символ Лежандра }}\left( {\frac{a}{p}} \right){\text{ определяется следующим образом:}} \hfill \\ \left( {\frac{a}{p}} \right) = 0,{\text{ если }}a{\text{ делится на }}p; \hfill \\ \left( {\frac{a}{p}} \right) = 1,{\text{ если }}a{\text{ является квадратичным вычетом по модулю }}p; \hfill \\ \left( {\frac{a}{p}} \right) = - 1,{\text{ если }}a{\text{ является квадратичным невычетом по модулю }}p. \hfill \\ \end{array}\]
1317.
\[\begin{array}{l} {\text{Ненулевые квадратичные вычеты образуют подгруппу индекса 2}} \hfill \\ {\text{в мультипликативной группе кольца }}{\mathbb{Z}_p}. \hfill \\ \end{array}\]