tag:
арифметические функции
46
Теорема
§

Формула обращения Мёбиуса

\[\begin{array}{l} {\text{Для арифметических функций }}f{\text{ и }}g \hfill \\ g\left( n \right) = \sum\limits_{d|n} {f\left( d \right)} \Leftrightarrow f\left( n \right) = \sum\limits_{d|n} {\mu \left( d \right)g\left( {\frac{n}{d}} \right)} . \hfill \\ \mu \left( d \right){\text{ - функция Мёбиуса}} \hfill \\ \end{array}\]
40
§

Определение функции Мёбиуса

\[\mu \left( n \right) = \left\{ \begin{array}{l} 1,{\text{ }}n = 1 \hfill \\ {\left( { - 1} \right)^k},{\text{ }}n = {p_1}{p_2}...{p_k} \hfill \\ 0,{\text{ }}{p^2}|n \hfill \\ \end{array} \right.\]
43
§

Свойство функции Мёбиуса

\[\sum\limits_{m|n} {\mu \left( m \right)} = \left\{ \begin{array}{l} 1,{\text{ }}n = 1 \hfill \\ 0,{\text{ }}n \geqslant 2 \hfill \\ \end{array} \right.\]
44
§
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}n = p_1^{{k_1}} \cdot p_2^{{k_2}} \cdot ... \cdot p_s^{{k_s}},{\text{ }}\tau \left( n \right){\text{ - количество положительных}} \hfill \\ {\text{делителей числа }}n.{\text{ Тогда}} \hfill \\ \tau \left( n \right) = \left( {{k_1} + 1} \right) \cdot \left( {{k_2} + 1} \right) \cdot ... \cdot \left( {{k_s} + 1} \right). \hfill \\ \end{array}\]
45
§
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}n = p_1^{{k_1}} \cdot p_2^{{k_2}} \cdot ... \cdot p_s^{{k_s}},{\text{ }}\sigma \left( n \right){\text{ - сумма положительных}} \hfill \\ {\text{делителей числа }}n.{\text{ Тогда}} \hfill \\ \sigma \left( n \right) = \prod\limits_{i = 1}^s {\frac{{p_i^{{s_i} + 1} - 1}}{{{p_i} - 1}}} . \hfill \\ \end{array}\]