Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 707?

$$\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число 2}}\underbrace {{\text{00}}...{\text{00}}}_{n{\text{ нулей}}}2{\text{ не является}} \hfill \\ {\text{квадратом ни при каком }}n. \hfill \\ \end{array} $$

Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1980? А 1990? А 2000?

\[{\text{При каких значениях }}p{\text{ все три числа }}p,{\text{ }}2p + 1{\text{ и }}4p + 1{\text{ будут простыми?}}\]

Числа p, p+10 и p+14 - простые. Найдите p.

Найдите самое маленькое из чисел, которое делится на 11, а при делении на 2, 3, 4, 5 даёт остаток 1.

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что число }}{p^4} - 1{\text{ делится на 240}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

У Феди в кармане меньше рубля. Если он купит 5 конфет, то у него останется 4 копейки, а если он купит 6 карандашей, то у него останется 3 копейки, а если он купит 7 тетрадок, то у него останется 1 копейка. Сколько стоит одна конфета и сколько денег у Феди?

Дано натуральное число n. Докажите, что у чисел n(n-1) и (n+1) разные суммы цифр.

\[{\text{Сколько натуральных делителей у числа }}{{\text{7}}^{10}}?\]