$${\text{Доказать по индукции: }}{\left( {\frac{{n + 1}}{2}} \right)^n} \geqslant n!$$

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sum\limits_{k = 2}^n {k \cdot {2^k}} = {2^{n + 1}}\left( {n - 1} \right).\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{k}} = \Psi \left( {n + 1} \right) + \gamma . \hfill \\ \Psi \left( n \right){\text{ - дигамма - функция}}{\text{, }}\Psi \left( {n + 1} \right) = \Psi \left( n \right) + \frac{1}{n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите по индукции:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}. \hfill \\ \end{array}\]