\[\begin{array}{l} {\text{Верно ли что для любого }}m \in \mathbb{N}{\text{ существует бесконечно много простых}} \hfill \\ {\text{чисел }}p{\text{ таких}}{\text{, что число }}2mp + 1{\text{ также простое?}} \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Есть ли простые числа вида }}{6^{{2^k}}} + 1{\text{ при }}k > 2?\]

\[{\text{Найти все натуральные }}n{\text{, при которых }}1 + {2^n} + {3^n}{\text{ есть точный квадрат}}{\text{.}}\]

\[{\text{Решить в целых числах уравнение }}{x^4} + {y^4} + {z^4} + {t^4} = {w^4}.\]

\[{\text{Бесконечно ли много простых чисел вида }}p = {n^2} + 1?\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p{\text{ и }}q{\text{ - простые числа}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите или опровергните следующие утверждения}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{а) Каждое нечётное число большее 5 представимо в виде }}2p + q. \hfill \\ {\text{б) Каждое нечётное число большее 77 представимо в виде 4}}p + q. \hfill \\ {\text{в) Каждое нечётное число большее 49 представимо в виде }}8p + q. \hfill \\ {\text{г) Для любого натурального }}k{\text{ найдётся число }}N{\text{ такое}}{\text{, что}} \hfill \\ {\text{каждое нечётное число большее }}N{\text{ представимо в виде }}{2^k} \cdot p + q. \hfill \\ {\text{д) Пусть заданы натуральные числа }}k{\text{ и }}m{\text{ и нечётное простое}} \hfill \\ {\text{число }}s.{\text{ Найдётся число }}N{\text{ такое}}{\text{, что каждое нечётное число}} \hfill \\ {\text{не кратное }}s{\text{ большее }}N{\text{ представимо в виде }}{2^k} \cdot p + {s^m} \cdot q. \hfill \\ \end{array}\]

\[\sqrt {1 + \sqrt {\frac{1}{2} + \sqrt {\frac{1}{3} + \sqrt {\frac{1}{4} + ... + \sqrt {\frac{1}{n} + ...} } } } } = ?\]