${\text{Разложите многочлен }}{x^{{2^{n + 1}}}} + {x^{{2^n}}} + 1{\text{ на множители}}{\text{.}}$

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что многочлен деления круга }}f\left( x \right) = {x^{p - 1}} + {x^{p - 2}} + ... + x + 1 \hfill \\ {\text{(}}p{\text{ - простое) неприводим над }}\mathbb{Q}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}\forall k \in \mathbb{N}{\text{ число}} \hfill \\ {\sin ^{2k}}\frac{\pi }{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{3\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{5\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{7\pi }}{{16}} \hfill \\ {\text{рационально}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число }}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\operatorname{tg} }^{2m}}\left( {\frac{{\pi k}}{{2n + 1}}} \right)} {\text{ целое}}{\text{.}} \hfill \\ m,n \in \mathbb{N} \hfill \\ \end{array}\]