tag:
рациональные_числа
1697.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что }}\forall k \in \mathbb{N}{\text{ число}} \hfill \\
{\sin ^{2k}}\frac{\pi }{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{3\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{5\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{7\pi }}{{16}} \hfill \\
{\text{рационально}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
2016.
\[\begin{array}{l}
N = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}}{{\sin }^k}xdx} ,{\text{ }}k \in \mathbb{N} \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}N \in \mathbb{Q}. \hfill \\
{\text{б) Пусть }}N = \frac{m}{n},{\text{ }}p{\text{ - нечётный простой делитель числа }}m, \hfill \\
q{\text{ - нечётный простой делитель числа }}n. \hfill \\
{\text{Докажите}}{\text{, что }}p \equiv 3\bmod 4,{\text{ }}q \equiv 1\bmod 4. \hfill \\
\end{array}\]

254.
Действия с рациональными числами
\[\frac{{20\frac{8}{{15}} \cdot 7,5 - 54,6:\frac{2}{5}}}{{3\frac{{13}}{{21}} \cdot 8,4 - 34,4:14\frac{1}{3}}} + 43,75:11\frac{2}{3} + 24,6:1\frac{1}{5}\]