\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}\forall k \in \mathbb{N}{\text{ число}} \hfill \\ {\sin ^{2k}}\frac{\pi }{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{3\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{5\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{7\pi }}{{16}} \hfill \\ {\text{рационально}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} N = \int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}}{{\sin }^k}xdx} ,{\text{ }}k \in \mathbb{N} \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}N \in \mathbb{Q}. \hfill \\ {\text{б) Пусть }}N = \frac{m}{n},{\text{ }}p{\text{ - нечётный простой делитель числа }}m, \hfill \\ q{\text{ - нечётный простой делитель числа }}n. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}p \equiv 3\bmod 4,{\text{ }}q \equiv 1\bmod 4. \hfill \\ \end{array}\]