\[\begin{array}{l}{\text{Разложите многочлен }}4{x^4} + {y^4}{\text{ в произведение}}\\{\text{двух многочленов с целыми коэффициентами}}{\text{.}}\end{array}\]

\[{\text{Разложите многочлен }}p\left( x \right) = {x^8} + {x^4} + 1{\text{ на множители}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Многочлен }}p\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx - 18{\text{ при делении на }}x + 2{\text{ даёт в остатке}}\\ {\text{20}}{\text{, а на }}x - 3{\text{ делится без остатка}}{\text{. Определите коэффициенты }}a{\text{ и }}b. \end{array}\]

\[{\text{Разложите многочлен на множители:}}\] $%{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc$%

$$\eqalign{ {\text{Разложите на множители:}} \hfill \\ {\left( {b - c} \right)^3} + {\left( {c - a} \right)^3} + {\left( {a - b} \right)^3}. \hfill \\ } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Корни уравнения }}{x^3} - 40{x^2} + mx - 2040 = 0{\text{ - тройка натуральных}} \hfill \\ {\text{чисел}}{\text{, являющихся длинами сторон прямоугольного треугольника}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Найдите }}m. \hfill \\ \end{array} \]

\[{\text{Разложите на множители: }}{a^3}\left( {b - c} \right) + {b^3}\left( {c - a} \right) + {c^3}\left( {a - b} \right).\]

${\text{Докажите}}{\text{, что }}{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1|{x^{44}} + {x^{33}} + {x^{22}} + {x^{11}} + 1.$

\[{\text{Доказать}}{\text{, что уравнение }}{x^3} - 5x + 1 = 0{\text{ не имеет рациональных корней}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите уравнение 4 - й степени с целыми коэффициентами}}{\text{, корни}} \hfill \\ {\text{которого }}{x_1} = 4{\sin ^2}\frac{\pi }{{16}},{\text{ }}{x_2} = 4{\sin ^2}\frac{{3\pi }}{{16}},{\text{ }}{x_3} = 4{\sin ^2}\frac{{5\pi }}{{16}},{\text{ }}{x_4} = 4{\sin ^2}\frac{{7\pi }}{{16}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}\forall k \in \mathbb{N}{\text{ число}} \hfill \\ {\sin ^{2k}}\frac{\pi }{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{3\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{5\pi }}{{16}} + {\sin ^{2k}}\frac{{7\pi }}{{16}} \hfill \\ {\text{рационально}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите многочлен с целыми коэффициентами}}{\text{, такой}}{\text{, чтобы}} \hfill \\ {\text{число }}\alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}{\text{ было его корнем}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Многочлен }}P\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d{\text{ принимает целые значения при }}x = - 1,0,1,2. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что этот многочлен принимает целые значения при всех целых }}x. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число }}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\operatorname{tg} }^{2m}}\left( {\frac{{\pi k}}{{2n + 1}}} \right)} {\text{ целое}}{\text{.}} \hfill \\ m,n \in \mathbb{N} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p \geqslant 5{\text{ - простое}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{\left( {x + 1} \right)^p} - {x^p} - 1{\text{ делится на }}{x^2} + x + 1. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{а) Пусть}}{\text{, }}{f_n}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа }}\sin \frac{\pi }{n}{\text{,}} \hfill \\ {g_n}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа cos}}\frac{\pi }{n}, \hfill \\ p{\text{ и }}q{\text{ - простые близнецы}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{f_p} + {f_q} + 2{\text{ и }}\frac{{{f_p} + {f_q} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\text{ - квадраты}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{В частности верны следующие равенства:}} \hfill \\ {f_3} + {f_5} + 2 = {\left( {2{g_4}} \right)^2} \hfill \\ {f_5} + {f_7} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}} \right)^2} \hfill \\ {f_{11}} + {f_{13}} + 2 = {\left( {2{g_4}{g_{12}}} \right)^2} \hfill \\ {f_{17}} + {f_{19}} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}{g_{18}}} \right)^2} \hfill \\ {f_{29}} + {f_{31}} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}{g_{10}}{g_{30}}} \right)^2} \hfill \\ {\text{б) Пусть }}{h_k}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа }}\sin \frac{\pi }{{{2^k}}}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{h_{k + 1}} = 2h_k^2 - 1,{\text{ }}k \geqslant 2. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть имеется набор многочленов }}{f_1}\left( x \right){\text{, }}{f_2}\left( x \right),...,{f_n}\left( x \right){\text{ с целыми}} \hfill \\ {\text{коэффициентами}}{\text{, }}n \geqslant 2.{\text{ Всегда ли найдётся многочлен }}G\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right) \hfill \\ {\text{с целыми коэффициентами не равный тождественно нулю такой}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что }}G\left( {{f_1},{f_2},...,{f_n}} \right) \equiv 0? \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{f_1}\left( x \right) = {x^2} + x + 1,{f_2}\left( x \right) = {x^3} + x + 1. \hfill \\ {\text{Найдите многочлен }}G \in \mathbb{Z}\left[ {{x_1},{x_2}} \right]{\text{ такой}}{\text{, что }}G\left( {{f_1},{f_2}} \right) \equiv 0. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\operatorname{tg} \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\operatorname{arctg} {x_i}} } \right) = \frac{{f\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}}{{g\left( {{x_1},{x_2},...,{x_n}} \right)}}, \hfill \\ {\text{где }}f{\text{ и }}g{\text{ - многочлены от }}{x_1},{x_2},...,{x_n}. \hfill \\ {\text{Разложите на множители }}{f^2} + {g^2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} \operatorname{tg} \left( {{2^k}\operatorname{arctg} x} \right) = \frac{{{f_k}\left( x \right)}}{{{g_k}\left( x \right) \cdot {g_k}\left( { - x} \right)}} \hfill \\ ({f_k}{\text{ и }}{g_k}{\text{ - многочлены}}) \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{g_k}\left( x \right){\text{ неприводим}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Докажите}}{\text{, что }}{\left( {g_k^{\left( n \right)}\left( x \right)} \right)^2} + {\left( {g_k^{\left( n \right)}\left( { - x} \right)} \right)^2} = C \cdot {\left( {{x^2} + 1} \right)^m}. \hfill \\ \end{array}\]

$$\begin{array}{l} {\text{Пусть }}n \in \mathbb{N}.{\text{ Докажите формулу:}} \hfill \\ \operatorname{tg} \left( {n\operatorname{arctg} x} \right) = \frac{{\frac{1}{{2i}}\left( {{{\left( {1 + x \cdot i} \right)}^n} - {{\left( {1 - x \cdot i} \right)}^n}} \right)}}{{\frac{1}{2}\left( {{{\left( {1 + x \cdot i} \right)}^n} + {{\left( {1 - x \cdot i} \right)}^n}} \right)}}. \hfill \\ \end{array}$$

\[{\text{Пусть }}f\left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^{2n} {{x^k}} .{\text{ Докажите}}{\text{, что }}f\left( {{x^2}} \right) = f\left( x \right)f\left( { - x} \right).\]

\[\left( {a,b,c} \right) \in {\mathbb{R}^3}{\text{. Prove that if }}{a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc{\text{ then }}a + b + c = 0.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{P_1},{\text{ }}{P_2},...,{P_n}{\text{ - точки на комплексной плоскости}}{\text{, соответствующие корням}} \hfill \\ {\text{многочлена }}p\left( x \right) = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_n}{x^n}.{\text{ Соединим отрезком каждую пару точек}} \hfill \\ {P_1},{P_2},...,{P_n},{\text{ получим }}\frac{{n \cdot \left( {n - 1} \right)}}{2}{\text{ отрезков}}{\text{. }}N{\text{ - квадрат произведения длин этих}} \hfill \\ {\text{отрезков}}{\text{. Чему равно }}N? \hfill \\ \end{array} \]