\[\begin{array}{l} {\text{а) Пусть}}{\text{, }}{f_n}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа }}\sin \frac{\pi }{n}{\text{,}} \hfill \\ {g_n}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа cos}}\frac{\pi }{n}, \hfill \\ p{\text{ и }}q{\text{ - простые близнецы}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{f_p} + {f_q} + 2{\text{ и }}\frac{{{f_p} + {f_q} - 2}}{{{x^2} - 1}}{\text{ - квадраты}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{В частности верны следующие равенства:}} \hfill \\ {f_3} + {f_5} + 2 = {\left( {2{g_4}} \right)^2} \hfill \\ {f_5} + {f_7} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}} \right)^2} \hfill \\ {f_{11}} + {f_{13}} + 2 = {\left( {2{g_4}{g_{12}}} \right)^2} \hfill \\ {f_{17}} + {f_{19}} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}{g_{18}}} \right)^2} \hfill \\ {f_{29}} + {f_{31}} + 2 = {\left( {2{g_2}{g_6}{g_{10}}{g_{30}}} \right)^2} \hfill \\ {\text{б) Пусть }}{h_k}\left( x \right){\text{ - минимальный многочлен числа }}\sin \frac{\pi }{{{2^k}}}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}{h_{k + 1}} = 2h_k^2 - 1,{\text{ }}k \geqslant 2. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\sqrt 2 ,\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{2},...{\text{ линейно независимы над }}\mathbb{Q}.\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{\pi }{9}}} + \frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{{2\pi }}{9}}} + \frac{1}{{{{\operatorname{tg} }^4}\frac{{4\pi }}{9}}} = 59.\]