644.
Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
1315.
\[1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{p - 1}} \equiv 0{\text{ }}\left( {\bmod {p^2}} \right)\]
Теорема
§
Теорема Люка
1311.
\[\begin{array}{l}
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{k! - 2} \\
k
\end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\
{\text{б) Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{k^{2m}}} \\
k
\end{array}} \right){\text{ делится на }}k + 1. \hfill \\
\end{array}\]
1314.
\[{\text{Доказать}}{\text{, что число }}C_{{k^{2m}}}^k{\text{ чётно}}{\text{.}}\]
1354.
\[{\text{Найти все натуральные }}n{\text{, при которых }}1 + {2^n} + {3^n}{\text{ есть точный квадрат}}{\text{.}}\]