$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = {\operatorname{tg} ^3}\alpha + {\operatorname{tg} ^2}\alpha + \operatorname{tg} \alpha + 1 \hfill \\ } $$

$$\eqalign{ {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{{96 \cdot \sin {{80}^ \circ } \cdot \sin {{65}^ \circ } \cdot \sin {{35}^ \circ }}}{{\sin {{20}^ \circ } + \sin {{50}^ \circ } + \sin {{110}^ \circ }}} \hfill \\ } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \cos \frac{\pi }{7} \cdot \cos \frac{{2\pi }}{7} \cdot \cos \frac{{4\pi }}{7} = - \frac{1}{8}. \hfill \\ \end{array} \]

$$\eqalign{ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha }}{{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha }} = \operatorname{tg} 3\alpha \hfill \\ } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наибольшее значение}} \hfill \\ {\text{выражения }}{\cos ^{13}}x + {\sin ^{14}}x. \hfill \\ \end{array}\]

$$\eqalign{ {\text{Вычислите }}\operatorname{tg} \frac{\pi }{{12}}. } $$

\[{\text{Докажите тождество:}}\] $%\frac{{\sin \alpha + \sin 4\alpha }}{{\cos 2\alpha - \cos 4\alpha }} = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha $%

\[{\text{Исходя из равенства }}\cos {54^ \circ } = \sin {36^ \circ }{\text{, вычислите }}\sin {18^ \circ }.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найти }}x{\text{, если}} \hfill \\ \left\{ \begin{array}{l} 2\operatorname{tg} \alpha = 3 + \sqrt x \hfill \\ 2\operatorname{tg} \beta = 3 - \sqrt x \hfill \\ 4\left( {\alpha + \beta } \right) = \pi \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Покажите}}{\text{, что }}\cos {20^ \circ }\cos {40^ \circ }\cos {80^ \circ } = \frac{1}{8}.\]

\[{\text{Вычислите: }}\frac{1}{{\sin {{20}^ \circ }}} - \frac{1}{{\operatorname{tg} {{40}^ \circ }}}.\]

\[{\text{Упростите: }}\frac{{\operatorname{tg} \frac{{3\pi }}{7} - 4\sin \frac{\pi }{7}}}{{\operatorname{tg} \frac{{6\pi }}{7} + 4\sin \frac{{2\pi }}{7}}}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ {\sin ^4}\frac{\pi }{{16}} + {\sin ^4}\frac{{3\pi }}{{16}} + {\sin ^4}\frac{{5\pi }}{{16}} + {\sin ^4}\frac{{7\pi }}{{16}} = \frac{3}{2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sin \left( {\frac{1}{2}\arcsin \frac{1}{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 \cdot \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{6}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ {\text{co}}{{\text{s}}^{10}}\frac{\pi }{{10}} - {\text{co}}{{\text{s}}^{10}}\frac{{3\pi }}{{10}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\ \frac{\pi }{4} = 4\arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{{239}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sqrt {\cos \frac{\pi }{5}} + \sqrt {\cos \frac{{2\pi }}{5}} = \frac{{\sqrt {4 + 2\sqrt 5 } }}{2}. \hfill \\ \end{array}\]