\[\begin{array}{l} {\text{Натуральные числа }}m{\text{ и }}n{\text{, }}m \ne n,{\text{ таковы}}{\text{, что число }}{2013^m}\\ {\text{имеет такую же последнюю цифру}}{\text{, как и 201}}{{\text{3}}^n}.\\ {\text{а) Приведите пример таких чисел }}m{\text{ и }}n.\\ {\text{б) Выясните}}{\text{, какое наименьшее значение может принимать}}\\ {\text{величина }}m + n. \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}n{\text{ - нечётное натуральное число}}{\text{, }}a{\text{ и }}b{\text{ - целые числа}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём }}a + b = n.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}{n^{k + 1}}|\left( {{a^{{n^k}}} + {b^{{n^k}}}} \right). \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c,m,n,k{\text{ - натуральные числа}}{\text{, причём }}a + m = b + n = c + k = s. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}a \cdot b \cdot c + m \cdot n \cdot k{\text{ делится на }}s. \hfill \\ \end{array}\]