\[\begin{array}{l} {\text{На сторонах }}AB,{\text{ }}BC,{\text{ }}CD{\text{ и }}AD{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{ отмечены точки}} \hfill \\ K,{\text{ }}L,{\text{ }}M{\text{ и }}N{\text{ соответственно}}{\text{, причём }}\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{BL}}{{LC}} = \frac{{CM}}{{MD}} = \frac{{DN}}{{NA}}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что четырёхугольник }}KLMN{\text{ - параллелограмм}}{\text{, а его центр}} \hfill \\ {\text{совпадает с центром параллелограмма }}ABCD. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение площадей параллелограммов }}KLMN{\text{ и }}ABCD{\text{, если}} \hfill \\ {\text{известно}}{\text{, что }}AK:KB = 2. \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Окружность проходит через вершины }}A,{\text{ }}B{\text{ и }}D{\text{ параллелограмма }}ABCD{\text{,}} \hfill \\ {\text{пересекает сторону }}BC{\text{ в точках }}B{\text{ и }}E{\text{ и пересекает продолжение стороны}} \hfill \\ CD{\text{ за точку }}D{\text{ в точке }}K. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}AE = AK. \hfill \\ {\text{б) Найдите отношение }}KE:BD{\text{, если }}\angle BAD = {60^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
а) Докажите, что \[\angle ABM = {30^ \circ }\].
б) Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если \[BC = 6\sqrt {21} \].