Неравенства 1
2
Теорема
§

\[\bf{{\text{Неравенства между средним гармоническим}}{\text{, средним геометрическим}}{\text{,}}\\{\text{средним арифметическим и средним квадратичным}}}\]

\[{\text{Все средние связаны неравенствами:}}\] $%\frac{{2ab}}{{a + b}} \le \sqrt {ab} \le \frac{{a + b}}{2} \le \sqrt {\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2}} .$% \[{\text{Знак равенства достигается лишь в том случае}}{\text{, когда }}a = b.\]
25
Теорема
§

Неравенство о средних (неравенство Коши)

\[\begin{array}{l} \frac{n}{{\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} + ... + \frac{1}{{{x_n}}}}} \leqslant \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}} \leqslant \frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \leqslant \sqrt {\frac{{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}}{n}} \hfill \\ ({x_i} \geqslant 0) \hfill \\ \end{array}\]
1040.
\[{\text{Докажите неравенство: }}{a^4} + {b^4} + 2{c^2} \geqslant 4abc.\]
1021.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}{a^2} + ab + {b^2} \geqslant 3\left( {a + b - 1} \right) \hfill \\ {\text{при всех }}a{\text{ и }}b. \hfill \\ \end{array}\]
1041.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - стороны треугольника}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите неравенство: }}{a^3} + {b^3} + 3abc > {c^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1764.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что для любых положительных чисел }}x,y{\text{ и }}z \hfill \\ {\text{выполнено неравенство}} \hfill \\ \sqrt[2]{{x + \sqrt[3]{{y + \sqrt[4]{z}}}}} \geqslant \sqrt[{32}]{{xyz}}. \hfill \\ \end{array}\]