30.
$%\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{dx}}{{1 + \varepsilon \cdot \cos x}}} ,{\text{ }}0 < \varepsilon < 1 $%
1839.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{2\pi } {\frac{{x\sin x + \cos x}}{{{{\cos }^2}x + {x^2}}}dx} = \operatorname{arctg} 2\pi .\]
1840.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^{10}}x + {{\cos }^{10}}x}} = \sqrt 5 \pi .} \]
1858.
\[\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\prod\limits_{k = 1}^8 {\sin \left( {kx} \right)} } \right)dx} = \frac{\pi }{{256}}.\]
1720.
\[\begin{array}{l}
{\text{Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{1 + {x^{2n}}}}dx} = \frac{\pi }{{2n \cdot \sin \frac{\pi }{{2n}}}}. \hfill \\
n \in \mathbb{N} \hfill \\
\end{array}\]
1779.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - x}} \cdot {x^n}dx} = n!\]
1862.
\[\int\limits_0^{ + \infty } {{e^{ - {x^{\frac{1}{k}}}}}dx} = k \cdot \Gamma \left( k \right)\]
1728.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\sin x}}{{\sinh x}}dx} = \frac{\pi }{2}\tanh \frac{\pi }{2}.\]