1605.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что при всех натуральных }}n{\text{ верно неравенство:}} \hfill \\ \sqrt {{1^3} + \sqrt {{2^3} + ... + \sqrt {{n^3}} } } < 3. \hfill \\ \end{array}\]
39
Теорема
§

Неравенство треугольника (неравенство Минковского)

\[\begin{array}{l} {\text{Для треугольника }}ABC{\text{ выполняется неравенство }}\left| {AC} \right| \leqslant \left| {AB} \right| + \left| {BC} \right|{\text{,}} \hfill \\ {\text{причём равенство достигается только в том случае}}{\text{, когда треугольник}} \hfill \\ {\text{вырожден и }}B{\text{ лежит на отрезке }}AC. \hfill \\ \end{array}\]

\[\sqrt {a_1^2 + ... + a_n^2} + \sqrt {b_1^2 + ... + b_n^2} \geqslant \sqrt {{{\left( {{a_1} + {b_1}} \right)}^2} + ... + {{\left( {{a_n} + {b_n}} \right)}^2}} \]
1343.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}{x_1} + {x_2} + ... + {x_n} = 3,{\text{ }}{y_1} + {y_2} + ... + {y_n} = 4{\text{ и }}{z_1} + {z_2} + ... + {z_n} = 5. \hfill \\ {\text{Доказать}}{\text{, что }}\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} + \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} + ... + \sqrt {x_n^2 + y_n^2 + z_n^2} \geqslant 5\sqrt 2 . \hfill \\ \end{array}\]
1344.
\[\sqrt {{{\sin }^4}x + 1} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 1} \leqslant \sqrt 5 \]
1346.
\[\begin{array}{l} {\text{Найти минимальное значение функции}} \hfill \\ F\left( {x,y} \right) = \sqrt {{x^2} + {y^2} - 4x + 2y + 5} + \sqrt {{x^2} + {y^2} + 6x - 4y + 13} . \hfill \\ \end{array}\]