\[\begin{array}{l} {\text{Окружность с центром }}O{\text{, вписанная в треугольник }}ABC{\text{, касается его сторон}}\\ AB,AC{\text{ и }}BC{\text{ в точках }}{C_1},{B_1}{\text{ и }}{A_1}{\text{ соответственно}}{\text{. Биссектриса угла }}A{\text{ пересекает}}\\ {\text{эту окружность в точке }}Q{\text{, лежащей внутри треугольника }}A{B_1}{C_1}.\\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{C_1}Q{\text{ - биссектриса угла }}A{C_1}{B_1}.\\ {\text{б) Найдите расстояние от точки }}O{\text{ до центра окружности}}{\text{, вписанной в}}\\ {\text{треугольник }}A{B_1}{C_1}{\text{, если известно}}{\text{, что }}BC = 10,AB = 17,AC = 21. \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Точка }}P{\text{ - центр вписанной окружности треугольника }}ABC.{\text{ Прямые }}AP{\text{ и}} \hfill \\ BP{\text{ пересекают описанную окружность треугольника }}ABC{\text{ в точках }}{A_1}{\text{ и }}{B_1}. \hfill \\ {\text{а) Докажите}}{\text{, что прямая }}CP{\text{ перпендикулярна прямой }}{A_1}{B_1}. \hfill \\ {\text{б) Найдите длину отрезка }}{A_1}{B_1}{\text{, если }}AB = 6,{\text{ }}\angle ACB = {30^ \circ }. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{В треугольнике }}ABC{\text{ }}AB = 11,{\text{ }}BC = 8,{\text{ }}CA = 7.{\text{ Точка }}D{\text{ лежит на прямой }}BC{\text{ так}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что }}BD:DC = 1:6.{\text{ Окружности}}{\text{, вписанные в каждый из треугольников }}ADC{\text{ и}} \hfill \\ ADB{\text{, касаются стороны }}AD{\text{ в точках }}E{\text{ и }}F.{\text{ Найдите длину отрезка }}EF. \hfill \\ \end{array}\]