tag:
кривизна_кривой
§
Радиус кривизны плоской кривой
\[\begin{array}{l}
{\text{Радиус кривизны кривой }}\left( {x\left( t \right);y\left( t \right)} \right){\text{ равен}} \hfill \\
R = \left| {\frac{{{{\left( {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{x'y'' - y'x''}}} \right|. \hfill \\
\end{array}\]
§
Вершиной кривой называется точка, в которой имеется экстремум кривизны.1713.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите радиусы кругов кривизны для эллипса }}\left( {a\cos t;b\sin t} \right){\text{ при}} \hfill \\
t = 0{\text{ и }}t = \frac{\pi }{2}{\text{ }}({\text{т}}{\text{.е}}{\text{. в вершинах эллипса}}).{\text{ Покажите}}{\text{, что площадь эллипса}} \hfill \\
{\text{есть среднее геометрическое площадей этих кругов}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
1832.
\[{\text{Найдите наименьшее значение радиуса кривизны для функции }}y = {e^x}.\]
1833.
\[{\text{Найдите наименьшее значение радиуса кривизны для функции }}y = {x^3}.\]
1834.
\[{\text{Найдите наименьшее значение радиуса кривизны для функции }}y = {x^{101}}.\]
1841.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}\kappa \left( t \right) = \frac{{x'y'' - x''y'}}{{{{\left( {{{\left( {x'} \right)}^2} + {{\left( {y'} \right)}^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{\text{ - кривизна регулярной кривой }}\gamma , \hfill \\
I = \int\limits_\gamma {\kappa \left( t \right)d\gamma } = \int\limits_a^b {\kappa \left( t \right)\sqrt {{{\left( {x'\left( t \right)} \right)}^2} + {{\left( {y'\left( t \right)} \right)}^2}} dt} , \hfill \\
{l_1}{\text{ - касательная к }}\gamma {\text{ при }}t = a,{\text{ }}{l_2}{\text{ - касательная к }}\gamma {\text{ при }}t = b. \hfill \\
{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left| I \right|{\text{ равен углу между }}{l_1}{\text{ и }}{l_2}. \hfill \\
\end{array}\]
1917.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть задана кривая }}\left( {\cos \left( t \right),\sin \left( {st} \right)} \right),{\text{ }}0 \leqslant t \leqslant 2\pi .{\text{ Докажите}}{\text{, что}} \hfill \\
{\text{радиус кривизны при }}t = 0{\text{ равен }}{s^2}. \hfill \\
\end{array}\]