1572.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{\text{45}}{{\text{1}}^4} + {573^4} + {677^4} + {1002^4} = {11099^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1573.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{\text{62}}{{\text{3}}^4} + {749^4} + {822^4} + {1003^4} = {12459^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1875.
\[\begin{array}{l}
{\text{Упростите:}} \hfill \\
\sqrt[5]{{232 + 164\sqrt 2 }} + \sqrt[5]{{232 - 164\sqrt 2 }}. \hfill \\
\end{array}\]
1411.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}\varphi \left( n \right){\text{ - функция Эйлера}}{\text{. Известно}}{\text{, что }}\varphi \left( {{p_1} \cdot {p_2} \cdot {p_3} \cdot {p_4} \cdot {p_5} \cdot {p_6}} \right) = {2^{31}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{где }}{p_i}{\text{ - различные простые числа}}{\text{. Найдите }}{p_i}. \hfill \\
\end{array}\]
1417.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}{n^{n + 1}} + {\left( {n + 1} \right)^{n + 2}} + {\left( {n + 2} \right)^{n + 3}}{\text{ составное}}{\text{.}}\]
1312.
\[{\text{Найдите сумму }}\sum\limits_{k = 0}^n {{{\left( {C_n^k} \right)}^2}} .\]
§
\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{n - 1} \\
k
\end{array}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( { - 1} \right)}^i}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n \\
{k - i}
\end{array}} \right)} \]
1356.
\[{\text{Пусть }}p{\text{ - простое число}}{\text{. Доказать}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{p - 1} \\
k
\end{array}} \right) \equiv {\left( { - 1} \right)^k}{\text{ }}\left( {\bmod p} \right).\]
1526.
\[\begin{array}{l}
{S_{6n + 6}} = 1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 6 + 7 \cdot 9 \cdot 11 + 8 \cdot 10 \cdot 12 + ... \hfill \\
... + \left( {6n + 1} \right) \cdot \left( {6n + 3} \right) \cdot \left( {6n + 5} \right) + \left( {6n + 2} \right) \cdot \left( {6n + 4} \right) \cdot \left( {6n + 6} \right). \hfill \\
{\text{а) Докажите}}{\text{, что }}{S_{6n + 6}} \vdots \left( {6n + 7} \right). \hfill \\
{\text{б) Выведите формулу для }}{S_{6n + 6}}. \hfill \\
\end{array}\]
798.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найти все целые корни уравнения}} \hfill \\
\cos \left( {\frac{\pi }{8}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} + 160x + 800} } \right)} \right) = 1. \hfill \\
\end{array} \]
1397.
\[{\text{Решить уравнение }}{7^k} = {3^m} + 4{\text{ в целых числах}}{\text{.}}\]
1398.
\[{\text{Решить уравнение 1}}{{\text{0}}^x} = {7^y} + 3{\text{ в целых числах}}{\text{.}}\]
1399.
\[{\text{Решить уравнение }}{4^x} = {7^y} + 9{\text{ в целых числах}}{\text{.}}\]
1401.
\[{\text{Решить уравнение }}{4^x} - {3^y} = 13{\text{ в целых числах}}{\text{.}}\]