\[{\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {{{15}^n} + 6} \right) \vdots 7{\text{ при любом натуральном }}n.\]

Определите число частей, на которое делят плоскость n различных прямых, проходящих через одну точку.

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + ... + \frac{1}{{\left( {n - 1} \right) \cdot n}} = \frac{{n - 1}}{n}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ {{\text{1}}^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Докажите}}{\text{, что если число }}a + \frac{1}{a}{\text{ - целое}}{\text{, то и число }}{a^n} + \frac{1}{{{a^n}}}{\text{ целое }}\forall n \in \mathbb{N}.\]

\[{\text{Докажите неравенство: }}\left| {{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}} \right| \leqslant \left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| + ... + \left| {{x_n}} \right|.\]