\[BG = ?\]

\[\begin{array}{l} {\text{Медианы треугольника }}ABC{\text{, проведённые из вершин }}A{\text{ и }}C{\text{, взаимно}} \hfill \\ {\text{перпендикулярны}}{\text{. Найдите }}AC{\text{, если }}A{B^2} + B{C^2} = 605. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Через середину медианы }}A{A_1}{\text{ и через вершину }}B{\text{ треугольника }}ABC{\text{ проведена}} \hfill \\ {\text{прямая}}{\text{. В каком отношении делит она сторону }}AC? \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,b,c{\text{ - стороны треугольника}}{\text{, а }}{m_a},{m_b},{m_c}{\text{ - его медианы}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Найдите }}\frac{{m_a^4 + m_b^4 + m_c^4}}{{{a^4} + {b^4} + {c^4}}}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}\alpha ,\beta ,\gamma {\text{ - углы треугольника}}{\text{, а }}\varepsilon ,\delta ,\zeta {\text{ - углы между его медианами}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \end{array}\] $$\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\beta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\gamma }} = \frac{1}{{{{\sin }^2}\varepsilon }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\delta }} + \frac{1}{{{{\sin }^2}\zeta }}.$$