\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ a\left| {x - 5} \right| = \frac{2}{{x + 3}}{\text{ на промежутке }}\left[ {0; + \infty } \right){\text{ имеет ровно два корня}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ ax + \sqrt {5 - 4x - {x^2}} = 3a + 3\\ {\text{имеет единственный корень}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ 10a + \sqrt { - 7 + 8x - {x^2}} = ax + 3\\ {\text{имеет единственный корень}}{\text{.}} \end{array}\]

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{ при каждом из которых система уравнений}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\left( {{y^2} - xy + 4x - 7y + 12} \right)\sqrt {x + 5} }}{{\sqrt {5 - x} }} = 0,\\ x + y - a = 0 \end{array} \right.\\ {\text{имеет ровно 2 различных решения}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых система уравнений}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x{y^2} - 2xy - 4y + 8}}{{\sqrt {4 - y} }} = 0\\ y = ax \end{array} \right.\\ {\text{имеет ровно три различных решения}}{\text{.}} \end{array} } $$

\[\begin{array}{l}{\text{При каких значениях параметра }}a{\text{ система уравнений}}\\\left\{ \begin{array}{l}{y^2} - \left( {2a + 1} \right)y + {a^2} + a - 2 = 0\\\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2}} = 3\end{array} \right.\\{\text{имеет единственное решение?}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все положительные значения }}a{\text{, при каждом из которых система}} \hfill \\ \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\left| x \right| - 5} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 9 \hfill \\ {\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} = {a^2} \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ {\text{имеет единственное решение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых система уравнений}} \hfill \\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {x + ay - 4} \right)\left( {x + ay - 4a} \right) = 0 \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 9 \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ {\text{имеет ровно четыре различных решения}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ {a^2} - 12a + 3\sqrt {4{x^2} + 9} = 6\left| {x - 3a} \right| - 10\left| x \right|\\ {\text{имеет хотя бы один корень}}{\text{.}} \end{array} } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a,{\text{ при которых уравнение}} \hfill \\ \sqrt {{x^4} + {{\left( {a - 3} \right)}^4}} = 2\left( {\left| {x + a - 3} \right| + \left| {x - a + 3} \right|} \right) \hfill \\ {\text{имеет единственное решение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых система}} \hfill \\ \left\{ \begin{array}{l} a\left( {{x^4} + 1} \right) = y + 2 - \left| x \right| \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 4 \hfill \\ \end{array} \right. \hfill \\ {\text{имеет единственное решение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при которых уравнение}}\\ {\log _{x + 1}}\left( {x + 5 - a} \right) = 2\\ {\text{имеет хотя бы один корень на интервале }}\left( { - 1;2} \right]. \end{array} } $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ \left| {{x^2} - 2ax + 7} \right| = \left| {6a - {x^2} - 2x - 1} \right|\\ {\text{имеет более двух различных корней}}{\text{.}} \end{array} } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых наименьшее}} \hfill \\ {\text{значение функции }}f\left( x \right) = 2ax + \left| {{x^2} - 8x + 7} \right|{\text{ больше 1}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

$$\eqalign{ & {\text{Найдите все значения }}a,{\text{ при каждом из которых уравнение}} \cr & 27{x^6} + {\left( {4a - 2x} \right)^3} + 6{x^2} - 4x = - 8a \cr & {\text{имеет более одного корня}}{\text{.}} \cr} $$

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых для любой пары }}\left( {u,v} \right)\\ {\text{действительных чисел }}u{\text{ и }}v{\text{ выполнено неравенство}}\\ 13\sin u - 7\left| {\sin u + v - 2a} \right| + 3\left| {\sin u - 2v - a - 1} \right| \le 16. \end{array} } $$

\[{\text{Решите уравнение }}{x^{12}} - {\left( {12 + 8x} \right)^6} = 32\sin \left| {12 + 8x} \right| - 32\sin \left( {{x^2}} \right).\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ 4{x^3} - a{x^2} + 2x - 1 = 0{\text{ имеет хотя бы одно решение}}\\ {\text{на интервале }}\left( {0;1} \right). \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ {\left( {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3x} \right)^2} - 2\left( {\left( {a - 1} \right){x^2} + 3x} \right) + 1 - {a^2} = 0\\ {\text{имеет ровно два решения}}{\text{.}} \end{array}\]

$$\eqalign{ \begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}}\\ \sqrt {{x^4} - {x^2} + {a^2}} = {x^2} + x - a\\ {\text{имеет ровно три различных корня}}{\text{.}} \end{array} } $$

$$\eqalign{ {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при каждом из которых уравнение}} \hfill \\ \frac{{\left( {x - a - 7} \right)\left( {x + a - 2} \right)}}{{\sqrt {10x - {x^2} - {a^2}} }} = 0 \hfill \\ {\text{имеет ровно один корень на отрезке }}\left[ {4;8} \right]. \hfill \\ } $$

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения }}a{\text{, при которых наименьшее значение функции}} \hfill \\ f\left( x \right) = x - 3\left| x \right| + \left| {{x^2} - 2\left( {a + 1} \right)x + {a^2} + 2a} \right| \hfill \\ {\text{больше }} - 8. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, при которых уравнение}} \hfill \\ {x^2} + \left( {x - 1} \right)\sqrt {3x - a} = x \hfill \\ {\text{имеет один корень на отрезке }}\left[ {0;1} \right]. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{, для каждого из которых}}\\ {\text{область значений функции }}y = \frac{{\cos 3x + a}}{{\cos 6x + 5}}{\text{ содержит число 1}}{\text{.}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l}{\text{Найдите все значения параметра }}a,{\text{ при каждом из которых множество}}\\{\text{решений неравенства}}\end{array}\] $%\frac{{a - \left( {{a^2} - 2a} \right)\cos 2x + 2}}{{3 - \cos 4x + {a^2}}} < 1$% \[{\text{содержит отрезок }}\left[ { - 2\pi ; - \frac{{7\pi }}{6}} \right].\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все значения параметра }}a{\text{ при каждом из которых уравнение}} \hfill \\ \sqrt {x - a} \sin x = \sqrt {x - a} \cos x{\text{ имеет ровно один корень на отрезке }}\left[ {0;\pi } \right]. \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все }}a{\text{, при которых уравнение}} \hfill \\ 2\sin x - a\sin 2x = \left| {2\sin x - 1} \right| \hfill \\ {\text{имеет единственный корень на промежутке }}\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right]. \hfill \\ \end{array}\]

Определите все значения параметра \[a\], при каждом из которых уравнение $%\sqrt {5x - 3} \cdot \ln \left( {{x^2} - 6x + 10 - {a^2}} \right) = 0$% имеет единственное решение на отрезке \[\left[ {0;3} \right]\].

Найдите все значения параметра \[a\], при каждом из которых уравнение $%\sqrt {2x - 1} \ln \left( {4x - a} \right) = \sqrt {2x - 1} \ln \left( {5x + a} \right)$% имеет ровно один корень на отрезке [0;1].