Из целых чисел от 1 до 2n выбрано n + 1 число. Докажите, что среди выбранных чисел найдутся два, одно из которых делится на другое.

Можно ли подобрать такое простое число p > 2020, чтобы числа p-2020 и p+2020 тоже были простыми?

Число, которое является степенью простого числа (в том числе и первой степенью), будем называть примарным. Какое максимальное количество примарных чисел идёт подряд?

Может ли быть точным квадратом число, запись которого состоит из 1 единицы, 2 двоек, 3 троек, . . ., 9 девяток?

Найдите число, которое при умножении на 2 станет квадратом, на 3 — кубом, а при умножении на 5 — пятой степенью.

\[{\text{Докажите}}{\text{, что при чётном }}n{\text{ число }}\frac{{1!2!3! \cdot ... \cdot \left( {2n} \right)!}}{{n!}}{\text{ - квадрат}}{\text{.}}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите тождество:}} \hfill \\ \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{{{\left( {k!} \right)}^2}{{\left( {\left( {n - k} \right)!} \right)}^2}}}} = {\left( {C_{2n}^n} \right)^2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найдите все пары натуральных чисел }}\left( {x;y} \right){\text{, удовлетворяющих}} \hfill \\ {\text{равенству }}xy = 38x + 38y. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{При каких простых }}p{\text{ число }}{p^3} - 4p + 9{\text{ будет точным квадратом?}}\]

\[{\text{Найдите все пары натуральных }}\left( {a;b} \right){\text{ при которых }}b + 1{\text{ кратно }}a,{\text{ а }}{a^2} - 2{\text{ кратно }}b.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Решите в натуральных числах уравнение:}} \hfill \\ {{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} + 1 = {m^3}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Решите в натуральных числах уравнение:}} \hfill \\ {{\text{5}}^{k!}} - k \cdot {3^{k!}} + 1 = {m^3}. \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Решите уравнение в натуральных числах:}}\] $%{3^k} - {2^n} = 1$%

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что уравнение }}{x^2} + {y^2} - {z^2} - x - 3y - z - 4 = 0{\text{ имеет}} \hfill \\ {\text{бесконечно много целочисленных решений}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]