\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p \geqslant 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p^2}} \\ p \end{array}} \right) - p{\text{ делится на }}{p^5}. \hfill \\ \end{array}\]

Какое наибольшее количество натуральных чисел, каждое из которых является произведением ровно 4 простых (не обязательно различных), может идти подряд?

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a,m,n \in \mathbb{N}.{\text{ Докажите}}{\text{, что если НОД}}\left( {m,n} \right) = 1, \hfill \\ {\text{то НОД}}\left( {{{\left( {a + 1} \right)}^m} - {a^m},{{\left( {a + 1} \right)}^n} - {a^n}} \right) = 1. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} a,b,c \in \mathbb{N},{\text{ }}c < b < a \leqslant 100 \hfill \\ {\text{Найдите }}a,{\text{ }}b{\text{ и }}c{\text{ при которых выражение}} \hfill \\ \frac{a}{{b - c}} + \frac{b}{{a - c}} + \frac{c}{{a - b}} \hfill \\ {\text{принимает наименьшее значение}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Доказать}}{\text{, что если при некоторых натуральных }}m{\text{ и }}n{\text{ число}} \hfill \\ \frac{{{{\left( {m + n} \right)}^2}}}{{4m{{\left( {m - n} \right)}^2} + 4}}{\text{ - целое}}{\text{, то оно - точный квадрат}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Найти все тройки натуральных чисел }}\left( {x,y,z} \right){\text{ таких}}{\text{, что}} \hfill \\ 4{x^3} + y + z = 4xyz + 2x. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}a{\text{ и }}b{\text{ - положительные целые числа такие}}{\text{, что }}ab + 1{\text{ делит }}{a^2} + {b^2}. \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что }}\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}{\text{ - полный квадрат}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

\[{\text{Решить уравнение }}3{x^4} = 2{y^3} + 3{y^2}{\text{ в натуральных числах}}{\text{.}}\]

\[{\text{Решить в целых числах уравнение }}1 + {2^x} + {2^{2x + 1}} = {y^2}.\]

\[\begin{array}{l} {\text{Решите уравнение в положительных рациональных числах:}} \hfill \\ {x^y} = {\left( {2y} \right)^x}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{а) Пусть }}a \leqslant b.{\text{ Докажите}}{\text{, что все решения в натуральных числах уравнения}} \hfill \\ {a^2} + {b^2} = 3ab + 1{\text{ есть }}\left( {{F_{2k}},{F_{2k + 2}}} \right){\text{, где }}{F_{2k}}{\text{ и }}{F_{2k + 2}}{\text{ - числа Фибоначчи}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{б) Пусть задано натуральное число }}m.{\text{ Решите в натуральных числах}} \hfill \\ {\text{уравнение }}{a^2} + {b^2} = m \cdot ab + 1. \hfill \\ \end{array}\]