\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {35^2} + {29^2} + {11^2} = {3^7}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {100^2} + {72^2} + {21^2} = {5^6}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {91^2} + {89^2} + {59^2} = {3^9}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {251^2} + {245^2} + {195^2} = {11^5}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {64^2} + {11^4} = {24^3} + {17^3}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {10^3} + {11^4} = {25^3} + {2^4}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ 1 + \left( {1 + {1^3}} \right) \cdot \left( {1 + {2^3}} \right) \cdot \left( {1 + {3^3}} \right) \cdot \left( {1 + {4^3}} \right) = {181^2}. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ 1051 \cdot 1061 = 1115111. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ 2999 \cdot 3001 = 8999999. \hfill \\ \end{array}\]

Существует ли трёхзначное число, равное произведению своих цифр?

В десятичной записи двух чисел присутствуют только цифры 1, 4, 6 и 9. Может ли одно из них быть ровно в 17 раз больше другого?

\[\begin{array}{l} {\text{Первая слева цифра шестизначного числа равна 1}}{\text{. Если эту цифру}} \hfill \\ {\text{переставить на последнее место}}{\text{, то получится число в 3 раза больше}} \hfill \\ {\text{первоначального}}{\text{. Найдите первоначальное число}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

Найдите наименьшее трёхзначное число, в котором не все цифры меньше, чем 5.

Натуральное число называется хорошим, если оно делится на 15 и состоит лишь из цифр 0, 4, 7, причем этих цифр в нём поровну (запись числа не может начинаться с 0). Найдите наименьшее хорошее натуральное число.

Трёхзначное число назовём счастливым, если одна из его цифр равна сумме двух других. Найдите 7-ое по порядку счастливое трёхзначное число.

\[{\text{На сколько нулей оканчивается произведение 1}} \cdot {\text{2}} \cdot {\text{3}} \cdot ... \cdot 53?\]

В тесном трюме пиратской бригантины капитан Флинт и боцман Федя делили одно и то же делимое на разные делители. Капитан Флинт с мрачной усмешкой - на 153, а боцман Федя со спокойной улыбкой - на 8. Боцман Федя получил в частном 612. Какое частное получил капитан Флинт?

\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 3{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что число }}{p^2} - 1{\text{ делится на 24}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

Можно ли из 2000 квадратиков со стороной 1 см сложить фигуру с периметром 2001 см?

Кузнечик прыгает по прямой — каждый раз на 1 метр влево или вправо. Через некоторое время он оказался в исходной точке. Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

В записи между некоторыми цифрами поставь знаки сложения так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 1000:
88888888 = 1000.

Сумма двух чисел 715. Одно из них оканчивается нулем. Если этот нуль зачеркнуть, то получится второе число. Найди эти числа.

\[{\text{Вычислите: }}\left( { - 1} \right) + {\left( { - 1} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^3} + {\left( { - 1} \right)^4} + ... + {\left( { - 1} \right)^{2020}}.\]

Если A + B = 12, B + C = 10 и C + D = 16, то A + D = ?

\[\begin{array}{l} {\text{In the product 1}} \times {\text{2}} \times 3 \times 4 \times 5 \times 6,{\text{ which one of the six numbers should}}\\ {\text{be increased by 1 to cause the greatest increase in the product?}} \end{array}\]

Может ли быть верным равенство \[{\text{К}} \cdot {\text{О}} \cdot {\text{Т = У}} \cdot {\text{Ч}} \cdot {\text{Ё}} \cdot {\text{Н}} \cdot {\text{Ы}} \cdot {\text{Й}}\], если в него вместо букв подставить цифры от 1 до 9? (Разным буквам соответствуют разные цифры.)

\[{\text{Найдите }}3\Delta \left( {2\Delta 1} \right){\text{, если }}a\Delta b = {a^3} + b.\]

В запись 15628733029 нужно вставить один знак «+» и один знак «=», чтобы получилось верное равенство.

Имеется дробь \[\frac{2}{7}\]. Каждую секунду к её числителю прибавляется 3, а к знаменателю 10. Существует поверье, что когда дробь станет сократимой, то наступит конец света. Стоит ли бояться наступления конца света?

Проверить, является ли сократимой дробь \[\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\].

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что дробь }}\frac{{6n + 1}}{{10n + 2}}{\text{ несократима}} \hfill \\ {\text{ни при каком натуральном }}n. \hfill \\ \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что при всех натуральных значениях }}n \hfill \\ {\text{дробь }}\frac{{2{n^2} + 5n + 3}}{{3{n^2} + 10n + 8}}{\text{ несократима}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

Брат и сестра измеряют расстояние между двумя деревьями по шагам. Длина одного шага брата составляет 7 дм, а один шаг сестры - 56 см. Каково расстояние между этими деревьями, если известно, что их шаги совпадали ровно 10 раз (не считая начальную позицию)?

Как 7 яблок разделить поровну между 12 мальчиками, не разрезая ни одного яблока больше, чем на 4 части?

В доме, который был заселён только супружескими парами с детьми, проводилась перепись населения. Человек, проводивший перепись, в отчёте указал: «Взрослых в доме больше, чем детей. У каждого мальчика есть сестра. Мальчиков больше, чем девочек. Бездетных семей нет». Этот отчёт был неверен. Почему?

Будильник отстает на 12 минут за каждые сутки (то есть за 24 часа). Какое время нужно на нем установить в 20:00, чтобы завтра в 8:00 он зазвонил вовремя?

Таисия и Володя нашли небольшой клад с 40 золотыми монетами. Если Володя отдаст половину своих монет Таисии, то её число монет увеличится втрое. Сколько монет у Володи?

Аня в 6 раз моложе своего прадедушки; если же между цифрами её возраста вставить 0, то получится возраст её прадеда. Сколько ей лет?

В семье шестеро детей, причём возраст каждого ребёнка в годах выражается числом, делящимся только на само себя и на единицу. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 старше самого младшего. Сколько лет младшему?

В магазин привезли 223 л масла в бидонах по 10 л и 17 л. Сколько было бидонов?

Столовая получила 200 кг фруктов. Яблок и апельсинов было 150 кг, а апельсинов и груш - 120 кг. Сколько яблок, апельсинов и груш в отдельности привезли в столовую?

\[\begin{array}{l} {\text{Расшифруйте ребус}}{\text{, где одинаковым буквам соответствуют}} \hfill \\ {\text{одинаковые цифры}}{\text{, а разным - разные:}} \hfill \\ {\text{ПЧЁЛКА}} \cdot {\text{7}} = {\text{ЖЖЖЖЖЖ}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]

В примере на умножение некоторые цифры заменили буквами: АБ • Б = 1В1. Одинаковым буквам соответствует одна и та же цифра, разным буквам — разные. Подбери значение этих букв.

В числовом ребусе буквы P, Q и R обозначают различные цифры. Чему равна сумма P+Q+R?

Квадрат \[4 \times 4\] разбит на 4 фигурки тетрамино. Определите, какое число стоит в зелёной клетке, если известно, что в каждой клетке квадрата стоит одно из чисел 1,2,3 или 4, причём в каждой строке, в каждом столбце и в каждой фигурке тетрамино все четыре числа различны.

Каждая строка и каждый столбец приведенной ниже таблицы 4x4 заполняются цифрами 1, 2, 3, 4. При этом цифры 1, 2, 3, 4 не должны повторятся по вертикали и по горизонтали. Найдите значение a + b.

\[\begin{array}{l} {\text{Можно ли расставить числа от 3 до 11 в клетках квадрата}}\\ {\text{3}} \times {\text{3 так}}{\text{, чтобы произведения чисел в строках были равны}}\\ {\text{произведениям чисел в столбцах с теми же номерами?}} \end{array}\]

\[\begin{array}{l} {\text{Using digits 1 to 9}}{\text{, arrange the numbers in three groups}}\\ {\text{so that the sum is the same in each group}}{\text{. Is there more}}\\ {\text{than one way to do this? Explain}}{\text{.}} \end{array}\]

На картинке показаны электронные часы. Через какое минимальное время цифры на электронных часах будут одинаковыми?