1518.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{62^5} + {54^5} + {3^5} = {67^5} + {28^5} + {24^5}. \hfill \\
\end{array}\]
1564.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
\left( {\sum\limits_{k = 1}^{13} k } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^{32} k } \right) \cdot \left( {\sum\limits_{k = 1}^{78} k } \right) + 1 = {23^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1565.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^{26} k \cdot \sum\limits_{k = 1}^{10} k + \sum\limits_{k = 1}^{27} k = {3^9}. \hfill \\
\end{array}\]
1566.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^{14} k \cdot \sum\limits_{k = 1}^{15} k + {\left( {\sum\limits_{k = 1}^{10} k } \right)^2} = {5^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1567.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^{19} k \cdot \sum\limits_{k = 1}^{31} k + {\left( {\sum\limits_{k = 1}^{17} k } \right)^2} = {7^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1568.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
\sum\limits_{k = 1}^{13} k \cdot \sum\limits_{k = 1}^{34} k + {\left( {\sum\limits_{k = 1}^{23} k } \right)^2} = {19^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1569.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{\left( {\sum\limits_{k = 1}^4 k } \right)^2} + {\left( {\sum\limits_{k = 1}^{10} k } \right)^2} = {5^5}. \hfill \\
\end{array}\]
1576.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{240^3} + {265^3} + {326^3} + {400^3} = {107^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1577.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{25^3} + {158^3} + {226^3} + {302^3} = {3^{16}}. \hfill \\
\end{array}\]
1578.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{52^3} + {70^3} + {231^3} + {302^3} = {7^9}. \hfill \\
\end{array}\]
1579.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{147^3} + {216^3} + {221^3} + {401^3} = {97^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1580.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{121^3} + {189^3} + {232^3} + {303^3} = {5^{11}}. \hfill \\
\end{array}\]
1581.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{44^3} + {85^3} + {211^3} + {211^3} = {11^7}. \hfill \\
\end{array}\]
1582.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{26^3} + {271^3} + {355^3} + {401^3} = {3^{17}}. \hfill \\
\end{array}\]
1583.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{33^3} + {56^3} + {397^3} + {401^3} = {503^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1584.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{100^3} + {126^3} + {198^3} + {305^3} = {33^5}. \hfill \\
\end{array}\]
1585.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{195^3} + {245^3} + {257^3} + {402^3} = {101^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1586.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{1^3} + {52^3} + {98^3} + {600^3} = {601^3}. \hfill \\
\end{array}\]
1587.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{44^3} + {169^3} + {238^3} + {306^3} = {19^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1588.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{81^3} + {130^3} + {294^3} + {600^3} = {5^{12}}. \hfill \\
\end{array}\]
1589.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{176^3} + {294^3} + {329^3} + {600^3} = {7^{10}}. \hfill \\
\end{array}\]
1590.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{108^3} + {128^3} + {345^3} + {700^3} = {3^{18}}. \hfill \\
\end{array}\]
1591.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{10^3} + {363^3} + {548^3} + {880^3} = {19^7}. \hfill \\
\end{array}\]
1592.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{50^3} + {349^3} + {651^3} + {880^3} = {10^9}. \hfill \\
\end{array}\]
1593.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{153^3} + {156^3} + {722^3} + {800^3} = {173^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1594.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{198^3} + {609^3} + {722^3} + {880^3} = {33^6}. \hfill \\
\end{array}\]
1595.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{148^3} + {721^3} + {812^3} + {840^3} = {197^4}. \hfill \\
\end{array}\]
1596.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{204^3} + {422^3} + {602^3} + {801^3} = {13^8}. \hfill \\
\end{array}\]
1597.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{483^3} + {526^3} + {640^3} + {821^3} = {2^{30}}. \hfill \\
\end{array}\]
1599.
\[\begin{array}{l}
{\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\
{596^3} + {735^3} + {765^3} + {2005^3} = {309^4}. \hfill \\
\end{array}\]
21.
\[\begin{array}{l}
{\text{Натуральные числа }}m{\text{ и }}n{\text{, }}m \ne n,{\text{ таковы}}{\text{, что число }}{2013^m}\\
{\text{имеет такую же последнюю цифру}}{\text{, как и 201}}{{\text{3}}^n}.\\
{\text{а) Приведите пример таких чисел }}m{\text{ и }}n.\\
{\text{б) Выясните}}{\text{, какое наименьшее значение может принимать}}\\
{\text{величина }}m + n.
\end{array}\]
1422.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}n{\text{ - нечётное натуральное число}}{\text{, }}a{\text{ и }}b{\text{ - целые числа}}{\text{,}} \hfill \\
{\text{причём }}a + b = n.{\text{ Докажите}}{\text{, что }}{n^{k + 1}}|\left( {{a^{{n^k}}} + {b^{{n^k}}}} \right). \hfill \\
\end{array}\]
1556.
\[\begin{array}{l}
{\text{Пусть }}a,b,c,m,n,k{\text{ - натуральные числа}}{\text{, причём }}a + m = b + n = c + k = s. \hfill \\
{\text{Докажите}}{\text{, что }}a \cdot b \cdot c + m \cdot n \cdot k{\text{ делится на }}s. \hfill \\
\end{array}\]
8.
\[\begin{array}{l}
{\text{Найдите наименьшее шестизначное число}}{\text{, кратное 75}}{\text{, произведение цифр}}\\
{\text{которого больше 30}}{\text{, но меньше 60}}{\text{.}}
\end{array}\]
38.
\[\begin{array}{l}
{\text{Четырёхзначное число делится на 7 и 19}}{\text{. После умножения}}\\
{\text{его на 29 и деления на 41 получили остаток 39}}{\text{. Найдите это}}\\
{\text{число}}{\text{.}}
\end{array}\]
60.
\[\begin{array}{l}{\text{Для скольких натуральных чисел }}n{\text{ от 3000 до 4000 число}}\\\overline {nn} {\text{ является квадратом некоторого натурального числа?}}\end{array}\]
1189.
Сумма двух натуральных чисел равна 3597. При этом, если к одному из этих чисел справа приписать цифру 6, а у другого вычеркнуть последнюю цифру, то получатся два одинаковых натуральных числа. Найдите эти числа.
1239.
Найдите натуральное число, равное одной девятой части суммы всех нечетных натуральных чисел меньше него.
145.
\[{\text{Сколько рациональных членов содержит разложение}}\]
$%{\left( {\sqrt 2 + \sqrt[4]{3}} \right)^{100}}?$%
1404.
\[{\text{Докажите}}{\text{, что число }}\frac{1}{2}\left( {{{\left( {1 + \sqrt n } \right)}^k} + {{\left( {1 - \sqrt n } \right)}^k}} \right){\text{ целое}}{\text{.}}\]
1359.
\[{\text{Найдите все целые }}x{\text{ и }}y{\text{ такие}}{\text{, что число }}{x^4} + 4{y^4}{\text{ - простое}}{\text{.}}\]
56.
\[{\text{Решите уравнение в целых числах:}}\]
$%x + y = {x^2} - xy + {y^2}$%
53.
\[\begin{array}{l}{\text{Найдите все пары натуральных чисел}}{\text{,}}\\{\text{удовлетворяющие уравнению }}{x^2} - {y^2} = 69.\end{array}\]
1360.
\[\begin{array}{l}
{\text{Доказать}}{\text{, что при любом }}k \in \mathbb{N}{\text{ число }}k! + 616{\text{ не является}} \hfill \\
{\text{точной степенью выше первой целого числа}}{\text{.}} \hfill \\
\end{array}\]
1386.
\[{\text{Решить в натуральных числах уравнение }}{a^b} + {b^a} = 2011.\]
1387.
\[\begin{array}{l}
{\text{Решите в натуральных числах уравнение:}} \hfill \\
{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} = {m^3} \hfill \\
\end{array}\]
1388.
\[\begin{array}{l}
{\text{Решите в натуральных числах уравнение:}} \hfill \\
{{\text{5}}^{k!}} + {3^{k!}} = {m^2} - 1 \hfill \\
\end{array}\]
1641.
\[\begin{array}{l}
{\text{Решить в целых числах уравнение}} \hfill \\
5{x^4} + 10{x^2} + 2{y^6} + 4{y^3} = 6. \hfill \\
\end{array}\]