1443.
\[\begin{array}{l} {\text{Вычислите:}} \hfill \\ \frac{{\left( {{{99}^2} + 1} \right) \cdot \left( {{{101}^2} + 1} \right)}}{4}. \hfill \\ \end{array}\]
1489.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {208^4} + {84^4} + {72^4} + {9^4} = {1249^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1490.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {206^4} + {186^4} + {132^4} + {3^4} = {1489^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1491.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {91^3} + {68^3} + {51^3} + {29^3} = {107^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1492.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {239^4} + {211^4} + {144^4} + {75^4} = {1787^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1493.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {16^4} + {14^4} + {10^4} + {7^4} + {6^4} = {7^6}. \hfill \\ \end{array}\]
1494.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {48^4} + {44^4} + {16^4} + {13^4} + {2^4} = {55^4}. \hfill \\ \end{array}\]
1495.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {39^4} + {20^4} + {7^4} + {4^4} + {1^4} = {19^5}. \hfill \\ \end{array}\]
1496.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {37^4} + {26^4} + {21^4} + {20^4} + {1^4} = {139^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1497.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {62^4} + {34^4} + {30^4} + {15^4} + {6^4} = {257^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1498.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {65^4} + {60^4} + {57^4} + {24^4} + {17^4} = {347^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1499.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {8^4} + {13^5} + {7^6} + {1^7} = {79^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1500.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {73^4} + {61^4} + {19^4} + {17^4} + {15^4} = {349^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1501.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {36^4} + {20^5} + {2^6} + 1 = {47^4}. \hfill \\ \end{array}\]
1502.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {167^3} + {3^4} + {6^5} + {7^6} = {9^7}. \hfill \\ \end{array}\]
1503.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {85^4} + {49^4} + {43^4} + {33^4} + {5^4} = {397^3}. \hfill \\ \end{array}\]
1504.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {9^3} + {198^3} + {532^3} = {12583^2}. \hfill \\ \end{array}\]
1505.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {433^2} + {143^3} = {42^4}. \hfill \\ \end{array}\]
1506.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {2125^2} + {264^3} = {4787^2} \hfill \\ \end{array}\]
1507.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {785^2} + {1716^3} = {71089^2}. \hfill \\ \end{array}\]
1559.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ 35 \cdot 36 \cdot 37 \cdot 38 + 1 = {11^6}. \hfill \\ \end{array}\]
1560.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ \left( {1 + 2 + 3 + ... + 12} \right) \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 16} \right) + 1 = {103^2}. \hfill \\ \end{array}\]
1561.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ \left( {1 + 2 + 3 + ... + 16} \right) \cdot \left( {1 + 2 + 3 + ... + 20} \right) + 1 = {13^4}. \hfill \\ \end{array}\]
1563.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {7^2}} \right) \cdot \left( {{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {8^2}} \right) + 1 = {13^4}. \hfill \\ \end{array}\]
1570.
\[\begin{array}{l} {\text{Проверьте верность равенства:}} \hfill \\ {\text{90}} \cdot {\text{91}} \cdot {\text{268}} \cdot {\text{271 + 1}} = {29^6}. \hfill \\ \end{array}\]
1768.
\[\begin{array}{l} {\text{Площадь треугольника со сторонами }}a,{\text{ }}b{\text{ и }}c{\text{ и полупериметром }}p{\text{ можно}} \hfill \\ {\text{найти по формуле Герона: }}S = \sqrt {p \cdot \left( {p - a} \right) \cdot \left( {p - b} \right) \cdot \left( {p - c} \right)} .{\text{ Найдите по этой}} \hfill \\ {\text{формуле площадь треугольника со сторонами }}4,{\text{ }}13,{\text{ }}15. \hfill \\ \end{array}\]
485.
$$\eqalign{ {\text{Расшифруйте запись примера на сложение}}{\text{, где одинаковыми}} \hfill \\ {\text{буквами обозначены одинаковые цифры:}} \hfill \\ } $$
1297.
Является ли точным квадратом число, десятичная запись которого состоит из 2020 троек?
1691.
\[\begin{array}{l} {\text{Во сколько раз увеличится двузначное число}}{\text{, если справа к нему}} \hfill \\ {\text{приписать такое же двузначное число?}} \hfill \\ \end{array}\]
1757.
Может ли число вида ACAC, где A и C - цифры, быть точным квадратом?
1763.
\[{\text{Верно ли}}{\text{, что }}57599{\text{ - простое число?}}\]
1859.
\[\begin{array}{l} {\text{Найдите наименьшее трёхзначное число}}{\text{, которое обладает}} \hfill \\ {\text{всеми следующими тремя свойствами:}} \hfill \\ {\text{это число простое;}} \hfill \\ {\text{все цифры этого числа различны;}} \hfill \\ {\text{при зачёркивании любой одной цифры этого числа остаётся}} \hfill \\ {\text{двузначное простое число}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
628.
Сколько имеется несократимых правильных дробей со знаменателем 707?
679.
$$\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что число 2}}\underbrace {{\text{00}}...{\text{00}}}_{n{\text{ нулей}}}2{\text{ не является}} \hfill \\ {\text{квадратом ни при каком }}n. \hfill \\ \end{array} $$
896.
Существует ли целое число, произведение цифр которого равно 1980? А 1990? А 2000?
895.
\[{\text{При каких значениях }}p{\text{ все три числа }}p,{\text{ }}2p + 1{\text{ и }}4p + 1{\text{ будут простыми?}}\]
994.
Числа p, p+10 и p+14 - простые. Найдите p.
1224.
Найдите самое маленькое из чисел, которое делится на 11, а при делении на 2, 3, 4, 5 даёт остаток 1.
1306.
\[\begin{array}{l} {\text{Пусть }}p > 5{\text{ - простое число}}{\text{.}} \hfill \\ {\text{Докажите}}{\text{, что число }}{p^4} - 1{\text{ делится на 240}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
1650.
У Феди в кармане меньше рубля. Если он купит 5 конфет, то у него останется 4 копейки, а если он купит 6 карандашей, то у него останется 3 копейки, а если он купит 7 тетрадок, то у него останется 1 копейка. Сколько стоит одна конфета и сколько денег у Феди?
1659.
Дано натуральное число n. Докажите, что у чисел n(n-1) и (n+1) разные суммы цифр.
1758.
\[{\text{Сколько натуральных делителей у числа }}{{\text{7}}^{10}}?\]
1271.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что:}} \hfill \\ {\text{а) НОД}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОД}}\left( {x,y} \right); \hfill \\ {\text{б) НОК}}\left( {kx,ky} \right) = k \cdot {\text{НОК}}\left( {x,y} \right). \hfill \\ \end{array}\]
1869.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что если для натуральных чисел }}x,y,z \hfill \\ {\text{выполняется равенство }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}{\text{, то НОД}}\left( {x,y} \right) > 1. \hfill \\ \end{array}\]
1186.
Арсений утверждает, что может расставить натуральные числа от 1 до 16 в клетках таблицы 4*4 так, что произведение в каждой строке и в каждом столбце будет делиться на 16. Прав ли он?
1204.
Расставьте в вершинах и серединах сторон квадрата числа 1,2,3,4,5,6,7,8 так, чтобы сумма трех чисел, стоящих на каждой из сторон, была одна и та же.
1237.
В вершинах квадрата написали 4 натуральных числа. Возле каждой стороны записали произведение чисел в ее концах. Сумма этих произведений равна 143. Найдите сумму чисел в вершинах.
1658.
Сумма трёх натуральных чисел (не обязательно различных) равна 100. Из этих чисел можно составить три попарных разности (при вычислении разности из большего вычитают меньшее). Какое наибольшее значение может принимать сумма этих попарных разностей?
1670.
\[\begin{array}{l} {\text{Четырёх кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях}}{\text{. Получились}} \hfill \\ {\text{массы: }}7,8,9,10,11{\text{ и 12 кг}}{\text{. Тогда общая масса четырёх кошек равна:}} \hfill \\ \left( {\text{A}} \right)16{\text{ кг; }}\left( {\text{B}} \right)18{\text{ кг; }}\left( {\text{C}} \right)19{\text{ кг; }}\left( {\text{D}} \right){\text{57 кг; }}\left( {\text{E}} \right){\text{ невозможно определить}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]
869.
На доске записаны числа 1, 2, 3, . . . , 2019. За ход разрешается стереть любые числа a и b на доске и записать вместо них a + b - 1. Какое число останется на доске после 2018 таких операций?
20
§
\[\begin{array}{l} {\text{Последовательность чисел Фибоначчи задаётся следующим образом:}} \hfill \\ {F_1} = {F_2} = 1; \hfill \\ {F_n} = {F_{n - 1}} + {F_{n - 2}}{\text{ (}}n \geqslant 3{\text{)}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array} \]

\[\begin{array}{l} {\text{Первые 15 чисел Фибоначчи:}} \hfill \\ {\text{1}}{\text{, 1}}{\text{, 2}}{\text{, 3}}{\text{, 5}}{\text{, 8}}{\text{, 13}}{\text{, 21}}{\text{, 34}}{\text{, 55}}{\text{, 89}}{\text{, 144}}{\text{, 233}}{\text{, 377}}{\text{, 610}} \hfill \\ \end{array} \]
806.
\[\begin{array}{l} {\text{Некто приобрёл пару кроликов и поместил их в огороженный со всех сторон}} \hfill \\ {\text{загон}}{\text{. Сколько кроликов у него будет через а) год}}{\text{, б) }}n{\text{ месяцев}}{\text{, если считать}}{\text{,}} \hfill \\ {\text{что каждый месяц пара даёт в качестве приплода новую пару кроликов}}{\text{, которые}} \hfill \\ {\text{со второго месяца жизни также начинают давать новый приплод?}} \hfill \\ \end{array} \]
807.
\[{\text{Сколькими способами можно замостить прямоугольник 2}} \times {\text{12 доминошками 1}} \times {\text{2?}}\]
808.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что }}{F_{n + k}} = {F_{n - 1}}{F_k} + {F_n}{F_{k + 1}}. \hfill \\ ({\text{используйте индукцию по }}k) \hfill \\ \end{array} \]
1871.
\[\begin{array}{l} {\text{Докажите}}{\text{, что уравнение }}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{100}}{\text{ не может иметь бесконечно}} \hfill \\ {\text{много решений в натуральных числах}}{\text{.}} \hfill \\ \end{array}\]